y=Dy+Ck (5.12) 其中D,C为常数。 由无初应力假设，6，=0时O,=0，由此推出D,=0。这样就有O,=C5w,C础表示 两个张量之间的联系，也是张量，称为弹性常数张量。 >C的性质 对称性：由于O,=C5,On=CEu,所以CN=Cw O,=CSu=CS4=C6H,因此C=C张 0W-”=C,(当偏导数都连续时，求偏导数与次序无关) OEOEH O8HOE 这样独立的弹性常数数目由81减为21个。 >C础在坐标变换下的变化规律 设在坐标系{e中，有o,=C5’在坐标系{e}中，Oim=CyFg,两坐标系间的变 换矩阵为G(g),O)=8n8,0,E=8t8问。代入0=C%5中，得 gngyon=Cuk8pkgg (5.13) 两边乘以gm,8’考虑到gm8n=dm,8m8,=d,有 8yOm-8mCuks88p (5.14) Om=Cuksmpp 所以Cp=C8w8m8A8p,说明C是四阶张量。 5.3材料对称性对弹性常数的限制 由于应力、应变分量及弹性常数具有对称性，可以将应力-应变关系写成矩阵形式 611 C Cu2 C33 C23 Cm3 Cu2 6 022 C22 C2 C2233 C2223 C213 C22 822 033 C33 C233 C333 C333 C33 C32 83 (5.15) 63 C123 C2223 C3323 C2323 C233 C3312 2823 Ci1 C223 C3313 C2313 C33 C32 2819 012 C222 C392 C2312 C32 C22 282 (1)有一个对称面，设x1,x,平面是对称面 33 σ ij ij ijkl kl = D C+ ε (5.12) 其中 , D Cij ijkl 为常数。 由无初应力假设， 0 ij ε = 时 0 σ ij = ，由此推出 0 Dij = 。这样就有σ ij ijkl kl = C ε ，Cijkl 表示 两个张量之间的联系，也是张量，称为弹性常数张量。 ¾ Cijkl 的性质 对称性：由于 , σ ij ijkl kl ji jikl kl = = C C εσ ε ，所以C C ijkl jikl = 。 σ ij ijkl kl ijlk lk ijlk kl === CCC εεε ，因此C C ijkl ijlk = 2 2 ijkl klij ij kl kl ij W W C C εε εε ∂ ∂ === ∂∂ ∂∂ (当偏导数都连续时，求偏导数与次序无关) 这样独立的弹性常数数目由 81 减为 21 个。 ¾ Cijkl 在坐标变换下的变化规律 设在坐标系{e} 中，有σ ij ijks ks = C ε ，在坐标系{e′} 中，σ mn mnpq pq ′ = C′ ′ ε ，两坐标系间的变 换矩阵为 ( )ij G g ， , ij ri tj rt ks pk qs pq σ = = gg g g σε ε ′ ′ 。代入σ ij ijks ks = C ε 中，得 ri tj rt ijks pk qs pq gg C g g σ′ = ε′ (5.13) 两边乘以 , mi nj g g ，考虑到 , mi ri mr nj tj nt g g gg = = δ δ ，有 tj mt mi ijks pk qs pq mn ijks nj mi pk qs pq g gC g g C gg g g σ ε σ ε ′ = ′ ′ = ′ (5.14) 所以C C gg g g mnpq ijks nj mi pk qs ′ = ,说明Cijks 是四阶张量。 5.3 材料对称性对弹性常数的限制 由于应力、应变分量及弹性常数具有对称性，可以将应力-应变关系写成矩阵形式 11 1111 1122 1133 1123 1113 1112 22 1122 2222 2233 2223 2213 2212 33 1133 2233 3333 3323 3313 3312 23 1123 2223 3323 2323 2313 2312 13 1113 2213 3313 2313 1313 1312 12 1112 2212 CCCCCC CCCCCC CCCCCC CCCCCC CCCCCC CCC σ σ σ σ σ σ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 11 22 33 23 13 3312 2312 1312 1212 12 2 2 CCC 2 ε ε ε ε ε ε ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠ (5.15) (1)有一个对称面，设 1 2 x , x 平面是对称面