有了距离概念就可以仿照数学分析定义数列极限那样定义点列极限了 定义2.1.2设P∈R”(m=1,2,3,),如果limd(Pn,P)=0,则称点 列{P}收敛于P,记为limP=P,或P→P0(m→+∞),即对任意ε>0,存在N, 当m>N时有:d(P 在距离空间(R",d1)中Pa→P 1,2,..,n,其中P=(xm,xm2,,xm),P0=(x,x02 同样可以利用邻域来描述极限,为此,先引入邻域概念。 定义2.1.3称集合{P|d(P,P)<δ}为P的δ邻域,并记为 U(P0,δ)。P0称为邻域的中心,δ称为邻域的半径。在不需要特别指出是什么 样的半径时,也简称为P0的邻域,并记为U(P0)。 在R"(n=1,2,3)中,v距离按d定义时,所谓以P0为中心,δ为半径的 邻域分别是P0为中点、28为长度的开区间;P0为圆心、δ为半径的开圆;P0 为球心,δ为半径的开球。但距离按d2定义时,所谓以P0为中心,δ为半径 的邻域分别是P为中点、2δ为长度的开区间,P0为正方形中心、2δ为边长 的开正方形,P0为正方体中心,28为边长的开正方体 不难看出:点列{Pm}收敛于P0的充分必要条件是对任意e>0,存在N,当 m>N时有:Pm∈U(P0)。 容易验证邻域具有下面的基本性质: 1)p∈U(P);有了距离概念就可以仿照数学分析定义数列极限那样定义点列极限了。 定义２.１.２ 设 Pm ∈R n (m＝1,2,3,...)，如果m→∞ lim d(Pm ,P0)＝0，则称点 列{Pm}收敛于 P0，记为m→∞ lim Pm＝P0,或 Pm→P0 (m→＋∞)，即对任意 ε＞0，存在 N， 当 m＞N 时有：d(P m ,P 0 )＜ε. 在距离空间(R n ,d1)中 Pm→P0 (m→＋∞)<＝>x mk →x 0k (m→＋∞)， k=1,2,...,n，其中 Pm＝(x m1 ,x m2 ,...,x mn )，P0＝(x 01 ,x 02 ,...,x 0n ). 同样可以利用邻域来描述极限，为此，先引入邻域概念。. 定义２.１.３ 称集合{P|d(P,P0)＜δ}为 P0的 δ 邻域，并记为 U(P 0 ,δ)。P 0称为邻域的中心，δ 称为邻域的半径。在不需要特别指出是什么 样的半径时，也简称为 P 0的邻域，并记为 U(P 0 )。 在 R n (n＝1,2,3)中，v 距离按 d1定义时，所谓以 P 0为中心，δ 为半径的 邻域分别是 P 0为中点、 2δ 为长度的开区间；P 0为圆心、δ 为半径的开圆；P 0 为球心，δ 为半径的开球。但距离按 d 2 定义时，所谓以 P 0为中心，δ 为半径 的邻域分别是 P 0为中点、 2δ 为长度的开区间，P 0为正方形中心、2δ 为边长 的开正方形，P 0为正方体中心，2δ 为边长的开正方体。 不难看出：点列{P m }收敛于 P 0的充分必要条件是对任意 ε＞0，存在 N，当 m＞N 时有：P m ∈U(P 0 )。 容易验证邻域具有下面的基本性质： 1) p∈U(P)；