定义2.1.1设X是一非空集合,且存在d:X×X→[0,∞)满足 1)d(x,y)≥0,且d(x,y)=0<=〉x=y(正定性) 2)d(x,y)≤d(x,z)+d(y,z)(三角不等式) 则称(X,d)为度量空间或距离空间,X中的元素称为点,d(x,y)为点x,y之间的 距离。 注2.1.1“往返距离相等”的基本要求,也隐含在上述定义之中了 事实上,d(x,y)≤d(x,x)+d(y,x)=d(y,x),同理d(y,x)≤d(x,y),故 d(x, y)=d(y, 上述R按所规定的三种距离都分别成为距离空间(高代已验证过满足1) 例2.1.1=(5,52…,5…,…)∑52<+∞},按d(x,y)= (5:-n)]]成为距离空间.其中x=(1,5 (n,n,.,nn,)∈(。满足1)显然,对2)只须验证对任意的x= ∑(5-n)≤[(-n)2]2+[∑(-n 事实上,由R"中的三角不等式 5;-n)] ∑(5n)]2+∑(-n) 令n→+∞即得所证不等式。 例2.1.2C[a,b]按d(x,y)=max|x(t)-y(t)成为距离空间。容易验证 它满足距离条件1)、2)。定义２.１.１ 设 X 是一非空集合，且存在 d：X×X→[0,∞)满足 1) d(x,y)≥0，且 d(x,y)＝0 <＝> x=y (正定性) 2) d(x,y)≤d(x,z)＋d(y,z) (三角不等式) 则称(X,d)为度量空间或距离空间，X 中的元素称为点，d(x,y)为点 x,y 之间的 距离。 注２.１.１ “往返距离相等”的基本要求，也隐含在上述定义之中了。 事实上，d(x,y)≤d(x,x)＋d(y,x)＝d(y,x)，同理 d(y,x)≤d(x,y),故 d(x,y)＝d(y,x). 上述 R n 按所规定的三种距离都分别成为距离空间（高代已验证过满足 1）， 2））。 例２.１.１ 2 l ＝{(ξ1,ξ2,...,ξn ,...)| ∑ < +∞ +∞ =1 2 i ξ i }，按 d(x,y)＝ [∑ ∞ i=1 (ξi-ηi) ] 2 ] 2 1 成为距离空间．其中 x＝(ξ1,ξ2,...,ξn ,...)，y＝ (η1,η2,...,ηn ,...)∈ 2 l 。满足 1)显然，对 2)只须验证对任意的 x＝ (ξ1,ξ2 ,...,ξn ,...)，y＝(η1,η2 ,...,ηn ,...)，z＝(ζ1 ,ζ2 ,...,ζn ,...) 有 [∑ ∞ i=1 (ξi -ηi ) 2 ] 2 1 ≤ [∑ ∞ i=1 (ξi -ηi ) 2 ] 2 1 ＋ [∑ ∞ i=1 (ξi -ηi ) 2 ] 2 1 事实上，由 R n 中的三角不等式: [ ∑= n i 1 (ξi-ηi) 2 ] 2 1 ≤ [∑= n i 1 (ξi-ηi) 2 ] 2 1 ＋ [∑= n i 1 (ξ1-ηi) 2 ] 2 1 令 n→＋∞即得所证不等式。 例２.１.２ C[a,b]按 d(x,y)＝ a≤t≤b max |x(t)-y(t)|成为距离空间。容易验证 它满足距离条件 1)、2)