本科课程考试参考答案与评分标准 2006/2007学年第1学期 课程名称:高等代数(2) 考试性质:考试试卷类型:C 考试班级:信计、数学03-05 考试方法:闭卷命题教师:王忠义 A021 解:令λE-A=0即有 (-2)( A1=A2=2,A (6分) 对于A1=A2=2特征子空间的一个基为10 (3分) 对于λ3=2特征子空间的一个基为 (3分) 六、(10分)设α1,α2是矩阵A的属于不同特征值的特征向量,证明:a1+a2 不是A的任一特征值的特征向量 解:设α1,α2是矩阵A的属于不同特征值λ1,λ2的特征向量,A1≠λ2 假设α计+a2是A的某一特征值λ的特征向量,则有 A(a1+a2)=A(a1+a2) 另一方面(a1+a2)=Aa1+Aa2=入1a1+A2a2 左右相减得0=(λ-A1)a1+(A-λ2)a2 (λ-Aλ1)与(λ-λ2)不能同时为零,说明a1,a2线性相关,矛盾。此矛盾说 明αt+α2不是A的任一特征值的特征向量 七、(12分)求矩阵A的若尔当标准形 A+-253 解:经初等变换后知A等价于下面矩阵 第3页共5页第 3 页 共 5 页 本科课程考试参考答案与评分标准 2006/2007 学年第 1 学期 课程名称：高等代数(2) 考试性质：考试 试卷类型：C 考试班级：信计、数学 03-05 考试方法：闭卷 命题教师：王忠义 A= 2 3 -1 0 2 1 0 0 3 解:令|λE-A|=0 即有 (λ-2) 2(λ-3)=0 λ1=λ2=2，λ3=3 (6 分) 对于λ1=λ2=2 特征子空间的一个基为ζ1= 1 0 0 (3 分) 对于λ3=2 特征子空间的一个基为ζ2= 2 1 1 (3 分) 六、（10 分）设α1，α2 是矩阵 A 的属于不同特征值的特征向量，证明：α1+α2 不是 A 的任一特征值的特征向量。 解：设α1，α2是矩阵 A 的属于不同特征值λ1，λ2的特征向量，λ1≠λ2 假设α1+α2是 A 的某一特征值λ的特征向量，则有 A（α1+α2）=λ（α1+α2） 另一方面 A（α1+α2）= Aα1+Aα2=λ1α1+λ2α2 左右相减得 0=（λ-λ1）α1+（λ-λ2）α2 （λ-λ1）与（λ-λ2）不能同时为零，说明α1，α2线性相关，矛盾。此矛盾说 明α1+α2不是 A 的任一特征值的特征向量。 七、（12 分）求矩阵 A 的若尔当标准形． A= -1 4 3 -2 5 3 4 -4 -2 解：经初等变换后知 A 等价于下面矩阵