二维随机变量的分布函数 例1设二维随机变量(X,Y)的分布函数为 F(x,y)=AB+arc 0<X<+0,-0<y<+0 (1)试确定常数AB,C (2)求事件{2<X<+0,0<Y≤3}的概率 解(1)由二维随机变量的分布函数的性质,可得 F(+∞,+∞)=A(B+r/2)C+x/2)=1, F(-∞+∞)=A(B-x/2)C+z/2)=0 F(+∞,-∞)=A(B+x/2)C-/2)=0, 由这三个等式中的第一个等式知A≠0,B+r/2≠0,C+x/2≠0, 故由第二、三个等式知B-/2=0,C-/2=0,于是得B=C=r/2,A=1/2 故(x,y)的分布函数为F(xy)=-2+ arctan 22+arctan 3 (2)由(1)式得 P{2<X+∞,0<Y<3}=F(+∞3)-F(+0,0)-F(2,3)+F(20)=1/16 二维离散型随机变量及其概率分布 例2(E01)设随机变量X在1,2,3,4四个整数中等可能地取一个值,另一个随机变量Y 在1~X中等可能地取一整数值,试求(X,Y)的分布律 解由乘法公式容易求得(X,H)的分布律.易知{X=i,=}的取值情况是:i=1,2,34, 取不大于i的正整数,且 P{X=1,Y=}=P{Y=jX=1}P{X=i} 于是(X,Y)的分布律为 2 4 l/12 1/16 l/16 0 0 l/12 1/16 0 0 0 1/16 例3(E02)把一枚均匀硬币抛掷三次,设X为三次抛掷中正面出现的次数,而Y为正面 出现次数与反面出现次数之差的绝对值,求(X,Y)的概率分布及(X,Y)关于X,y的边缘分 解(x,Y)可取值(0,3),(1,1)、2,1)(3,3) P{X=0,y=3}=(1/2)3=1/8, P{X=1,Y=1}=3(1/2)=3/8, P{X=2,Y=l}=3 P{X=3,y=3}=l/二维随机变量的分布函数 例 1 设二维随机变量 (X,Y) 的分布函数为  −    + −    +       +      = + x y y C x F x y A B , , 3 arctan 2 ( , ) arctan (1) 试确定常数 A, B,C; (2) 求事件 {2  X  +,0  Y  3} 的概率. 解 (1) 由二维随机变量的分布函数的性质, 可得 F(+,+) = A(B + / 2)(C + / 2) =1, F(−,+) = A(B − / 2)(C + / 2) = 0, F(+,−) = A(B + / 2)(C − / 2) = 0, 由这三个等式中的第一个等式知 A  0, B + / 2  0, C + / 2  0, 故由第二、三个等式知 B − / 2 = 0, C − / 2 = 0, 于是得 B =C = / 2, 2 A =1/ 故 (X,Y) 的分布函数为 . 3 arctan 2 2 arctan 2 1 ( , ) 2        +      = + x y F x y    (2) 由(1)式得 P{2  X + ,0  Y  3} = F(+,3) − F(+,0) − F(2,3) + F(2,0) =1/16. 二维离散型随机变量及其概率分布 例 2 (E01) 设随机变量 X 在 1, 2, 3, 4 四个整数中等可能地取一个值，另一个随机变量 Y 在 1~ X 中等可能地取一整数值，试求 (X,Y) 的分布律. 解 由乘法公式容易求得 (X,Y) 的分布律. 易知 {X = i,Y = j} 的取值情况是: i =1,2,3,4, 取不大于 i 的正整数, 且 P{X = i,Y = j} = P{Y = j | X = i}P{X = i} , 4 1 1 =  i i =1,2,3,4, j  i 于是 (X,Y) 的分布律为 例 3 (E02) 把一枚均匀硬币抛掷三次, 设 X 为三次抛掷中正面出现的次数, 而 Y 为正面 出现次数与反面出现次数之差的绝对值, 求 (X,Y) 的概率分布及 (X,Y) 关于 X,Y 的边缘分 布. 解 (X,Y) 可取值(0,3),(1,1),(2,1),(3,3) { 0, 3} (1/ 2) 1/8, 3 P X = Y = = = { 1, 1} 3(1/ 2) 3/8, 3 P X = Y = = = P{X = 2,Y =1} = 3/8, P{X = 3,Y = 3} =1/8, X 1 2 3 4 Y 1 1/4 1/8 1/12 1/16 2 0 1/8 1/12 1/16 3 0 0 1/12 1/16 4 0 0 0 1/16