(4)因 4-3:4--(+)-3-3i1-3--(+ 1-31-3[-(+1-3 其中 1,故 -(+i,|z-0+ 且收敛半径R=Y10 (5)因tanz=z+ 1+tan(二-) 1-tan(z-学) tan=[+tan(二-)](+tan(-于)+tan2(二-哥)+ =1+2(-xz)+2(=-z)2+9(=-z)+…,且收敛半径R=z。 (6)因( arctan)'= 又 ,|-k1,故 arctan 51+==∑1y2=∑(- K<I 2n+1 且收敛半径R=1。 13.为什么在区域|二kR内解析且在区间(-R,R)取实数值的函数f(=)展开成二的 幂级数时,展开式的系数都是实数? 解f(-)展开成二的幂级数时,展开式的系数为cn-m!’而函数f()在区间 (-R,R)取实数值,可知∫"(O)也为实数。故展开式的系数都是实数。 4.证明在f(二)=cos(二+-)以二的各幂表出的洛朗展开式中的各系数为 cos(2cos6)cosn6d6,(n=0,±1,±2,…) 证明f(二)=cos(z+-)在复平面内出去点z=0外解析,所以在04=k+∞内可 展开成洛朗级数cos(二+-) n,其中 =①（4）因 4 3[ ] ( ) 1 i 3 3i 1 4 3 1 − − + − − = − z z 1 3i 3[ ] ( ) 1 i 1 − − − + = z [ ] ( ) 1 i 1 3i 3 1 1 1 3i 1 − + − − − = z [ ] ( ) [ ( )] ⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ⎟ − + + ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − − + + − + − = " 2 2 1 i 1 3i 3 1 i 1 3i 3 1 1 3i 1 z z ， 其中 [ ( ) 1 i ] 1 1 3i 3 − + < − z ，故 ( ) [ ] ( ) n n n n z z 1 i 1 3i 3 4 3 1 0 1 − + − = − ∑ ∞ = + ， ( ) 3 10 3 1 3i | 1 i | = − z − + < ， 且收敛半径 3 10 R = 。 （5）因 3 2 5 tan ,| | 3 15 2 z z z z z π = + + +" < ，又 4 4 1 tan( ) tan 1 tan( ) z z z π π + − = − − ，故 2 4 4 4 tan z z [1 tan( )](1 tan(z ) tan (z ) ) π π π = + − + − + − +" ＝ 2 8 3 1 2( ) 2( ) ( ) , 4 4 3 4 z z z π π π + − + − + − +" 且收敛半径 4 R π = 。 （6）因 2 1 (arctan )' 1 z z = + ，又 2 4 2 1 1 , 1 z z z z = − + − | |<1 + " ，故 2 1 2 2 0 0 0 0 1 arctan ( 1) ( 1) 1 2 n z z n n n n z z dz z dz z n 1 ∞ ∞ + = = = − = − + + ∫ ∫ ∑ ∑ ，| | z <1， 且收敛半径 R =1。 13．为什么在区域| | z < R 内解析且在区间 ( , −R R) 取实数值的函数 f (z) 展开成 的 幂级数时，展开式的系数都是实数？ z 解 f (z)展开成 z 的幂级数时，展开式的系数为 ( ) (0) ! n n f c n = ，而函数 f (z)在区间 ( , −R R)取实数值，可知 也为实数。故展开式的系数都是实数。 ( ) (0) n f 14．证明在 1 f z( ) cos(z ) z = + 以 z 的各幂表出的洛朗展开式中的各系数为 2 0 1 cos(2cos ) cos ,( 0, 1, 2, ) 2 n c n d n π θ θ θ π = = ∫ ± ± " 。 证明 1 f z( ) cos(z ) z = + 在复平面内出去点 z = 0外解析，所以在 内可 展开成洛朗级数 0 | < < z | +∞ 1 cos( ) n n n z c z ∞ =−∞ + = ∑ z ，其中 7