coS(z+ d=,(n=0,±1,±2,…0<r<+∞) 与要证明式子中Cn的表示式相比较,我们取r=1并利用复积分的计算公式可得 1 r2r cos(e+ cos(2 cos 0)cos nede cos(2 cos 0)sin nedB coS(z cOS 0)cos nede 因cos(2 cos O)sinned=cos2cosO) sin ned,而cos2cosO) sinne为O的奇 函数 15.下列结论是否正确? 用长除法 =2+2-+2+ =1++- 因为 =0,所以…+一2+-+1+2+x+2+…=0 解不正确。因为长除法所得到的两式,使它们成立的z值的范围不同(分别为 =k1:|卜>1),因此不能相加。 16.把下列各函数在指定的圆环域内展开成 Laurent级数 E2+ 1<=k2; (2)0-,04k10kl (3) ,0<-1k1,1<-2 <+0 (4)el (5) 在以i为中心的圆环域内6)sin (7) (二-1)(二-2) 3<zk4,44-k 解(1)因 (x2+1)(z-2)x2+1x2+1z-2 故 21 +1)(=-2)5x1 | | 1 cos( ) 1 ,( 0, 1, 2, ,0 ) 2 n n z r z z c dz n πi z + = + = = ± ± < r < +∞ v∫ " 与要证明式子中cn 的表示式相比较，我们取r =1并利用复积分的计算公式可得 i i 2 2 1 i 0 0 | | 1 1 cos( ) 1 1 cos( ) 1 cos(2cos ) cos 2 i 2 2 n n n z z e e z c dz d z e θ θ π π θ θ θ θn d π π π − + = + + = = = v∫ ∫ ∫ θ 2 0 i cos(2cos )sin 2 n d π θ θ θ π − ∫ ＝ 2 0 1 cos(2cos ) cos 2 n d π θ θ θ π ∫ 因 2 0 cos(2cos )sin n d π θ θ θ ∫ ＝ cos(2cos )sin n d π π θ θ θ ∫− ，而cos(2cosθ )sin nθ 为θ 的奇 函数。 15．下列结论是否正确？ 用长除法 2 3 1 z z z z z = + + + − "， 2 1 1 1 1 z z z z = + + + − " 因为 0 1 1 z z z z + = − − ，所以 2 1 1 1 z z "+ + + + 2 3 z z + + + z " = 0 。 解 不正确。因为长除法所得到的两式，使它们成立的 z 值的范围不同（分别为 | | z <1；| | z >1），因此不能相加。 16．把下列各函数在指定的圆环域内展开成 Laurent 级数。 （1） ( ) 1 ( ) 2 1 2 z + z − ，1 <| z |< 2 ； （2） ( )2 1 1 z − z ，0 <| z |< 1,0 <| z −1|< 1； （3） ( )( ) < − < < − < +∞ − − ,0 | 1| 1,1 | 2 | 1 2 1 z z z z （4） 1 1 z e − ，1 <| z |< +∞ （5） 2 1 z z( i − ) ，在以i 为中心的圆环域内 （6） 1− z 1 sin ，0 <| z −1|< +∞ （7） ( 1)( 2) ,3 | | 4,4 | | ( 3)( 4) z z z z z z − − < < < < + − − ∞ 解 （1）因 2 5 1 1 5 2 1 5 1 ( 1)( 2) 1 2 2 2 − + + − + + − = + − z z z z z z 故 2 1 1 10 1 1 1 1 1 5 2 1 1 1 1 5 1 ( 1)( 2) 1 2 2 2 2 2 z z z z z z z z − − + − + = − ⋅ + − 8