对积分的上限求微商得 a=√φ?()+( 再由 得田 所以求弧长的公式可以写成为 ds 4x)2+(dy)2 这里(A),(B)各表依照积分变量对应于曲上点A3点B,这积分所应当取的上下限 特别是,如果曲由 表示,并且A,B各对应于x=a,x=b,则弧长公式变为 dv i d 1+(f(x)2dx 又如果是极坐标形式 由谊角坐标xy与极坐标的关系 y=T 可得(这就可以看成为以0为参变数的方程) dx= cos e dr - sin 8 de, dy=sinθdr+rcos8d0, dx2t dy2=&r2+rd8 所以 dr=√(4x)2+(4y)2=√(dr)2+r(d 如果A与B各对应于角日=a,日=B的点,則极坐标所表出的弧长是 Cy→+(m) M ds的极坐标表达式也可以由图2得到当弧MM常小时,可以用M M'混的弦代替这段弧,这弦恰好是直角三角形MNM的弦,而其他边各 与rd,dr近似相等. 注意,曲的长度是有方向的,如果我們假定了正向悬由A到B,則 由B到A的度量就是以上的长度加一負号,在用参变数表示法时,也請法 意这点,要看准由a变到β是否就是A到B的方向 侧1.求(0,0)与(a,a2)之閥抛物额y=x2的弧长