§1.9等角的证法 ,证明角相等，主要有以下途径 (1）合回 三角形的应用 (2)等腰三角形的应用： >(3)平行线的应用： >(4)媒介角的应用： >(5)三角形中内角与外角的关系： (6)圆心角 角，弦切角的关系 (7)相似形的应用. 例1：设AD,BE,CF是△ABC的三条高线，则△DEF称为△ABC的垂足三角形.证 明这些高线平分垂足三角形的内角或外角， 图1.21 图1.22 例2：从圆O外一点P引切线PC,PD,通过弦CD的中点M任作一弦AB求证：PO 平分∠APB 例3：二圆外切于P,一圆在其上一点C的切线交另一圆于A,B求证：PC是∠APB 的外角平分线。 例4：从圆心O向已知直线I作垂线OM,通过垂足M任作两条直线AB和CD,交圆于A, B,C,D.求证：AD,BC交直线I之点P,Q与M等距. 蝴蝶定理来由 蝴蝶定理最先是作为一个征求证明的问题，刊载于1815年的一份通俗杂志《里十日记》上 由于其几何图形形象奇特、貌似蝴螺 ,便以此命名。蝴蝶定理出现过许多优美奇特的解法 其中最早的，应首推霍纳在1815年所给出的证法。至于初等数学的证法，在国外资料中 一般都认为是由一位中学教师斯特温首先提出的，它给予出的是面积证法。 ·至于初等数学的证法，在国外资料中，一般都认为是由一位中学教师斯特温首先提 出的，它给予出的是面积证法，其中应用了面积公式：S=1/2 BCSINA。1985年，在 河南省《数学教师》创刊号上，杜锡录同志以《平面几何中的名题及其妙解》为题， 载文向国内介绍蝴蝶定理 从此蝴螺定理在神州大地到处传开 §1.10和差倍分的证法和定值问题 >证明和差倍分问题的常用定理： >（1)三角形两边中点的连线等于第三边的一半：§１.９等角的证法 ➢ 证明角相等，主要有以下途径： ➢ （１）合同三角形的应用； ➢ （２）等腰三角形的应用； ➢ （３）平行线的应用； ➢ （４）媒介角的应用； ➢ （５）三角形中内角与外角的关系； ➢ （６）圆心角，圆周角，弦切角的关系； ➢ （７）相似形的应用． 例１：设ＡＤ，ＢＥ，ＣＦ是△ＡＢＣ的三条高线，则△ＤＥＦ称为△ＡＢＣ的垂足三角形．证 明这些高线平分垂足三角形的内角或外角． 例２：从圆Ｏ外一点Ｐ引切线ＰＣ，ＰＤ．通过弦ＣＤ的中点Ｍ任作一弦ＡＢ 求证：ＰＯ 平分∠ＡＰＢ． 例３：二圆外切于Ｐ，一圆在其上一点Ｃ的切线交另一圆于Ａ，Ｂ 求证：ＰＣ是∠ＡＰＢ 的外角平分线． 例４：从圆心Ｏ向已知直线 l 作垂线 OM，通过垂足 M 任作两条直线 AB 和 CD，交圆于 A， B，C，D．求证：AD，BC 交直线 l 之点 P，Q 与 M 等距． 蝴蝶定理来由 : 蝴蝶定理最先是作为一个征求证明的问题，刊载于 1815 年的一份通俗杂志《男士日记》上。 由于其几何图形形象奇特、貌似蝴蝶，便以此命名。蝴蝶定理出现过许多优美奇特的解法， 其中最早的，应首推霍纳在 1815 年所给出的证法。至于初等数学的证法，在国外资料中， 一般都认为是由一位中学教师斯特温首先提出的，它给予出的是面积证法。 • 至于初等数学的证法，在国外资料中，一般都认为是由一位中学教师斯特温首先提 出的，它给予出的是面积证法，其中应用了面积公式：S=1/2 BCSINA。1985 年，在 河南省《数学教师》创刊号上，杜锡录同志以《平面几何中的名题及其妙解》为题， 载文向国内介绍蝴蝶定理，从此蝴蝶定理在神州大地到处传开。 §1.10 和差倍分的证法和定值问题 ➢ 证明和差倍分问题的常用定理： ➢ （１）三角形两边中点的连线等于第三边的一半；