al2Y)t2+a22(a11X+a12Y)2t2 =(a11a22a122)(a11X2+2a12xY+a22Y2)t2 =I2(X,Y)t2 因为X:Y为非渐近方向，所以(X,Y)≠0，又有t≠0，因此，当I2≠0即二 次曲线为中心曲线时(，”)≠0：当I2=0即二次曲线为非中心曲线时 (X,)=0.即得： 2.定理3：中心二次曲线的非渐近方向的共轭方向是非渐近方向，非中心二次曲 线的非渐近方向的共轭方向是渐近方向 二次曲线的非渐近方向X:Y与它的共轭方向X:”是对称的： allX X'+a12(X +X'Y)+a22Y Y=0, 因此对中心曲线来说，非渐近方向X:Y的共轭方向是非渐近方向：Y,而 :”的共轭方向就是X:Y. 3.定义3：中心曲线的一对具有相互共轭方向的直径叫做一对共轭直径. 一对共轭直径的斜率k=Y:X与匙=”：X满足下面的关系式： a22 kk +al2(k+k )all=0. 例，试证：通过中心二次曲线中心的直线，一定是中心二次曲线的直径：平行于 无心二次曲线渐近方向的直线，一定是无心二次曲线的直径。 证明：设二次曲线为 :a11x2+2a12xy+a22y2+2a13x+2a23y+a33=0. (1)当为中心曲线时，设其中心为(x0,y0),过其中心的任一直线为 A(xx0)+B(yy0)=0, 或 Ax+By (Ax0+By0)=0. 欲证它是的一条直径 1:XF1(x,y)+YF2(x,y)=0, 即 (a11X+a12Y)x+(al2X+a22Y)y+(al3X+a23Y)=0. 也就是要证明存在非渐近方向X:Y,使上式中一次项系数与A,B,一(AxO+ByO) 对应成比例.令 中(X,)=aX+42Y=A 中，(x,)=a.X+aaY=8, 虫(X,约=4，X+a'=-(4x+,】(0) ① 山于(x0,y0)是中心，故有