曲线y=lnx与x轴及直线x=e所围成的图形绕直线x=e旋转所得的旋转体体积为 V2=hr(e-e")'c 因此所求旋转体的体积为 1=5m2-x(-)b=2-2+3 e 【评注】本题不是求绕坐标轴旋转的体积,因此不能直接套用现有公式.也可考虑用 微元法分析,完全类似例题见《数学复习指南》P197的【例734】和P201的【例742】 四、(本题满分12分) 将函数f(x)= arctan12展开成x的幂级数,并求级数∑ (-1)的 和 【分析】幂级数展开有直接法与间接法,一般考查间接法展开,即通过适当的恒等变 形、求导或积分等,转化为可利用已知幂级数展开的情形。本题可先求导,再利用函数1 的幂级数展开=1+x+x2+…+x"+…即可,然后取x为某特殊值,得所求级数的 和 【详解】因为∫(x)=-1+4 2>-1)4x2.x∈(22 又f(0)= 所以 f(x)=(0+/r=-22-)4 x∈ 4 2n+1 因为级数∑(收敛,函数在x=1处连续,所以8 为 . 3 1 2 1 V = e 曲线 y=lnx 与 x 轴及直线 x=e 所围成的图形绕直线 x=e 旋转所得的旋转体体积为 V e e dy y 2 1 0 2 ( )  =  − ， 因此所求旋转体的体积为 (5 12 3). 6 ( ) 3 1 2 1 0 2 2 = 1 − 2 = − − = − +  V V V e e e dy e e y    y 1 D O 1 e x 【评注】 本题不是求绕坐标轴旋转的体积，因此不能直接套用现有公式. 也可考虑用 微元法分析，完全类似例题见《数学复习指南》P.197 的【例 7.34】和 P.201 的【例 7.42】. 四 、（本题满分 12 分） 将函数 x x f x 1 2 1 2 ( ) arctan + − = 展开成 x 的幂级数，并求级数   = + − 0 2 1 ( 1) n n n 的和. 【分析】 幂级数展开有直接法与间接法，一般考查间接法展开，即通过适当的恒等变 形、求导或积分等，转化为可利用已知幂级数展开的情形。本题可先求导，再利用函数 1− x 1 的幂级数展开 = + + ++ + − n x x x x 2 1 1 1 即可，然后取 x 为某特殊值，得所求级数的 和. 【详解】 因为 ). 2 1 , 2 1 2 ( 1) 4 , ( 1 4 2 ( ) 2 0 2 = − −  − +  = −   = x x x f x n n n n 又 f(0)= 4  , 所以 f x f f t dt t dt n n x x n n 2 [ ( 1) 4 ] 4 ( ) (0) ( ) 2 0 0 0     = = +  = − −  = ). 2 1 , 2 1 , ( 2 1 ( 1) 4 2 4 2 1 0  − + − − +  =  x x n n n n n  因为级数   = + − 0 2 1 ( 1) n n n 收敛，函数 f(x)在 2 1 x = 处连续，所以