高等数学教案 第三章微分中值定理与导数的应用 x (-0,-1) -1 (-1,1) (1,+o0) f'"(x) 不可导 0 fx) 0 -34 (4)极大值为九-1)=0，极小值为f0=-34 定理3（第二种充分条件）设函数x)在点xo处具有二阶导数且f'(xo)=0, f"(xO)≠0，那么 (1)当"(xo)<0时，函数x)在xo处取得极大值； (1)当"(xo)>0时，函数x)在xo处取得极小值； 证明在情形(1)，由于f"(xo)<0,按二阶导数的定义有 f）=im)-f2<0. x-xoX-X0 根据函数极限的局部保号性，当x在xo的足够小的去心邻域内时， fx-f'<0. x-X0 但f'(xo)=O,所以上式即 f田<0 x-xo 从而知道，对于这去心邻域内的x来说，f'(x)与x-x符号相反.因此，当x-xo<0即x<xo时，f '(x)>0;当x-x>0即x>xo时，f'(x)<0.根据定理2，x)在点xo处取得极大值. 类似地可以证明情形(2). 简要证明：在情形(1)，由于f"(x)<0,f'x)=0,按二阶导数的定义有 "()=lim -f(=limf() X-Xo x→xoX-x0 根据函数极限的局部保号性，在xo的某一去心邻域内有 f四<0 x-X0 从而在该邻域内，当x<xo时，f'(x)>0;当x>时，f'(x)<0.根据定理2，x)在点xo处取得极 大值 定理3表明，如果函数x)在驻点xo处的二导数f"(xo)≠0，那么该点xo一定是极值点， 并且可以按二阶导数f"(xo)的符来判定xo)是极大值还是极小值.但如果f"(xo)=0,定理3 就不能应用， 4