高等数学教案 第三章微分中值定理与导数的应用 讨论：函数fx)=-x,gx)=x3在点=0是否有极值？ 提示：f'(x)=4x3,f"(0)=0;f"(x)=12x2,f"(0)=0.但当x<0时f'(x)<0,当x>0时f'(x)>0,所 以0)为极小值 g'(x)=3x2,g'(0)=0;g"x)=6x,g"(0)=0.但g0)不是极值. 例2求函数x)=(x2-1)3+1的极值 解(1)f'(x)=6x(x2-1)2 (2)令f"x)0,求得驻点x1=-1,x2=0,x3=1. (3)f"(x)=6x2-1)(5x2-1). (4)因f"(0)=6>0,所以fx)在x=0处取得极小值，极小值为0)=0. (5)因f"(-1)=∫"(1)=0，用定理3无法判别.因为在-1的左右邻域内∫'x)<0所以x)在 -1处没有极值；同理，x)在1处也没有极值， 二、最大值最小值问题 在工农业生产、工程技术及科学实验中，常常会遇到这样一类问题：在一定条件下，怎 样使“产品最多”、“用料最省”、“成本最低”、“效率最高”等问题，这类问题在数学上有时 可归结为求某一函数（通常称为目标函数）的最大值或最小值问题 极值与最值的关系： 设函数x)在闭区间[，b]上连续，则函数的最大值和最小值一定存在.函数的最大值和 最小值有可能在区间的端点取得，如果最大值不在区间的端点取得，则必在开区间（α，b)内 取得，在这种情况下，最大值一定是函数的极大值.因此，函数在闭区间[α，b]上的最大值一 定是函数的所有极大值和函数在区间端点的函数值中最大者.同理，函数在闭区间[α，b]上 的最小值一定是函数的所有极小值和函数在区间端点的函数值中最小者. 最大值和最小值的求法： 设x)在(a,b)内的驻点和不可导点（它们是可能的极值点）为x,x2,··,x,则比较 d),x),··,xn),b) 的大小，其中最大的便是函数x)在[a,b]上的最大值，最小的便是函数x)在[a,b]上的最小 值， 例3求函数x)=2-3x+2在[-3,4]上的最大值与最小值. 解fx)= x2-3x+2x∈[-3,1小[2,4] 1-x2+3x-2x∈L,2) -2x6a