高等数学教案 第三章微分中值定理与导数的应用 (1)如果在xo的某一左邻域内f"(x)>0,在xo的某一右邻域内f"(x)<0,那么函数fx)在xo 处取得极大值； (2)如果在xo的某一左邻域内f"(x)<0,在xo的某一右邻域内f'(x)>0,那么函数x)在x0 处取得极小值； (3)如果在xo的某一邻域内f'(x)不改变符号，那么函数x)在xo处没有极值。 定理2'（第一种充分条件）设函数x)在含xo的区间(a,b)内连续，在(a,x0)及(xo,b)内可 导 (1)如果在(a,xo)内f'x)>0,在xo,b)内f"(x)<0,那么函数x)在x0处取得极大值； (2)如果在(a,xo)内f'(x)<0,在(xo,b)内f'(x)>0,那么函数x)在xo处取得极小值； (3)如果在(a,xo)及(xo,b)内f'(x)的符号相同，那么函数x)在xo处没有极值 定理2"（第一充分条件）设函数x)在xo连续，且在xo的某去心邻域(0-dx0Lxo,x+) 内可导 (1)如果在(x0-6xo)内f'(x)>0,在(xo,xo+)内f'(x)<0,那么函数x)在0处取得极大值： (2)如果在(xo-6xo)内f'(x)<0,在(xo,xo+)内f'(x)>0,那么函数x)在x0处取得极小值； (3)如果在(xo一6xo)及(xo,xo+)内f'(x)的符号相同，那么函数x)在xo处没有极值 定理2也可简单地这样说：当x在xo的邻近渐增地经过xo时，如果f'()的符号由负变正， 那么x)在xo处取得极大值；如果f"(x)的符号由正变负，那么x)在xo处取得极小值；如果f '()的符号并不改变，那么x)在x处没有极值（注：定理的叙述与教材有所不同） 确定极值点和极值的步骤： (1)求出导数f'(x) (2)求出x)的全部驻点和不可导点； (3)列表判断（考察f'(x)的符号在每个驻点和不可导点的左右邻近的情况，以便确定该点 是否是极值点，如果是极值点，还要按定理2确定对应的函数值是极大值还是极小值)； (4)确定出函数的所有极值点和极值， 例1求函数f(x)=(x-4)x+)2的极值 解(1)x)在(-0，+0)内连续，除=-1外处处可导，且 (2)令f"(x)=0,得驻点x=1;x=-1为x)的不可导点； (3)列表判断 3