高等数学教案 第三章微分中值定理与导数的应用 不一定是最大值.关于极小值也类似 极值与水平切线的关系：在函数取得极值处，曲线上的切线是水平的.但曲线上有水平 切线的地方，函数不一定取得极值. 定理1（必要条件）设函数x)在点xo处可导，且在xo处取得极值，那么这函数在x0处 的导数为零，即f'(xo)=0. 证为确定起见，假定x)是极大值（极小值的情形可类似地证明）.根据极大值的定义， 在0的某个去心邻域内，对于任何点x,x)<xo)均成立.于是 当x<x0时 f-f>0, x-X0 因此 f'(xo)=lim f&)-fw20: x→x0 x-X0 当x>0时 f)-f<0, x-X0 因此 )=lim )-fo)so; X+x0 x-X0 从而得到 f'(xo)=0. 简要证明：假定xo)是极大值.根据极大值的定义，在xo的某个去心邻域内有x)< xo).于是 f)=c)=1imf-f62≥0， x→x-0 同时 fo)=fx,)=imf-fl≤0， →x0 x-X0 从而得到 f'(xo)=0. 驻点：使导数为零的点（即方程f'(x)=0的实根）叫函数)的驻点.定理1就是说：可导 函数x)的极值点必定是函数的驻点.但的过来，函数x)的驻点却不一定是极值点. 考察函数x)=x3在x=0处的情况. 定理2（第一种充分条件）设函数x)在点x的一个邻域内连续，在x的左右邻域内可导. 2