2014-06-18 三、随机信号的各态历经性( Ergodic 2、时间自相关函数以概率1等于其集平均的自相关函数 随机信号的各态历经性(遍历性、埃尔性): 所有样本的统计特征和任何 x0)x(-)>1rxox-r)hExox(= 个单一样本在时间的统计特征是一致的 各态历经的随机信号,一个样本函数好象历经了随机信号 [xx,x;2=R() 其他样本函数的各种可能的状态 根据严格的条件判别广义平稳随机信号是否各态 各态历经的隨机信号,可以用时间平均值代替集平均值 各态历经的广义平稳的随机信号具有: 先假设广义平稳的随机信号是各态历经的,再用 设的合理性 1、时垧间平均值以概率1等于其集均值 X0)=x0)=LXO)-上h 例4验证假设随机相位正弦波x(=4na什具有各 态历经性的合理性,其中4和a为常数,的0~ 2π间均匀分布的随机变量 解:例2中已计算出: <x(n)r(t-r)>e<. Asin(@d +0).Asin[oo(t-r)+e]> E[x()=0 R,()=-Acosoor 2P<c0ar>-<o2-a+2> m=>地,0M=2C4m+0 wa-m方w2-+20)边 costar lim -cos(@ r+8) =-,mamn2y-+20-sm2-+20) lim aT lcos(-O.+6)-cos(o/+6) aIAcosar-2d14Te, 2xcos(28-0r)sin(207)=5A coser lim--F2sin Osin(-0T)=0 E[x()=<x(1)>,E[x(nx(t-r)=<x(t)x(t-r) 四、随机信号的功率谱 ·x(是能量信号,由能量信号的帕塞瓦尔定理得 随机信号的能量往往不是有限的,但其功率可以有限 广|xofd=⊥xo)do 对随机信号的一个样本x(n,其平均功率为 EC1-sof d =[axor ·平稳随机信号的平均功率P是{P的集平均值 ===Cx P=E(P) ELx-(o)Pl S(oyo 对平稳随机信号的一个样本(,取长度为r的一段 x()tkT/ S(c定义为平稳随机信号的功率谱密度函数,称功率谐 X,(o)=x,(e jo dt=hx()e e"dr2014-06-18 8 三、随机信号的各态历经性(Ergodic)  随机信号的各态历经性(遍历性、埃尔性)： 随机信号在固定时刻的所有样本的统计特征和任何一 个单一样本在时间的统计特征是一致的  各态历经的随机信号，一个样本函数好象历经了随机信号 其他样本函数的各种可能的状态 各态历经的随机信号 可以用时间平均值代替集平均值 52 43  ，可以用时间平均值代替集平均值  各态历经的广义平稳的随机信号具有： 1、时间平均值以概率1等于其集均值：         x t dt  E X t  xp x dx T x t T T T ( ) [ ( )] ( ) 2 1 ( ) lim 2、时间自相关函数以概率1等于其集平均的自相关函数： ( , ; ) ( ) ( ) ( ) [ ( ) ( )] 2 1 ( ) ( ) lim 1 2 1 2 * 1 2 * * *      x T T T x x p x x dx dx R x t x t dt E X t X t T x t x t                   一般而言，根据严格的条件判别广义平稳随机信号是否各态 历经是十分困难的 52 44  常用方法：先假设广义平稳的随机信号是各态历经的，再用 实验检验假设的合理性 例4 验证假设随机相位正弦波x(t)=Asin(0t+)具有各 态历经性的合理性，其中A和0为常数，为0～ 2间均匀分布的随机变量 解：例2中已计算出：    0 2 cos 2 1 Rx ( )  A E[x(t)]  0 sin( ) 2 1 ( ) lim 2 1 ( ) lim 0           A t dt T x t dt T m x t T T T T T T T x   52 45 [ 2sin sin( )] 0 2 1 lim [cos( ) cos( )] 2 1 lim cos( ) 2 1 lim 0 0 0 0 0 0 0                       T A T T T A T t A T T T T T T                                         2 2 0 0 2 0 2 0 0 2 0 2 0 0 2 0 0 * sin(2 2 ) 1 1 lim 1 cos 1 cos(2 2 ) 2 1 lim 2 1 cos 2 1 cos[2 2 ] 2 1 cos 2 1 cos cos[ (2 ) 2 ] 2 1 ( ) ( ) sin( ) sin[ ( ) ] A A t t dt T A A A A t A t x t x t A t A t T T T T                                     52 46                            0 2 0 0 0 2 0 2 0 0 0 0 0 2 0 2 0 0 0 0 cos 2 1 2 cos(2 )sin(2 ) 4 1 lim 2 1 cos 2 1 [sin(2 2 ) sin( 2 2 )] 4 1 lim 2 1 cos 2 1 sin(2 2 ) 2 2 lim 2 cos 2 T A T A A T T T A A t T A A T T T T                               [ ( )]  ( ) , [ ( ) (  )]  ( ) (  )  * * E x t x t E x t x t  x t x t  四、随机信号的功率谱  随机信号的能量往往不是有限的，但其功率可以有限  对随机信号的一个样本x(t)，其平均功率为：  平稳随机信号的平均功率P是{Px}的集平均值： x t dt T P T T T x    / 2 / 2 2 | ( )| 1 lim  1  52 47  对平稳随机信号的一个样本x(t)，取长度为T的一段：              / 2 / 2 ( ) ( ) ( ) 0 else ( ) | | / 2 ( ) T T j t j t T T T X x t e dt x t e dt x t t T x t              x t dt T P E P E T T T x / 2 / 2 2 | ( )| 1 ( ) lim  xT(t)是能量信号，由能量信号的帕塞瓦尔定理得：           xT t dt XT d 2 2 | ( )| 2 1 | ( )| X d T x t dt E T P E P E T T T T T x 2 / 2 / 2 2 | ( )| 1 2 1 | ( ) | lim 1 ( ) lim                                                 / 2 / 2 2 2 2 | ( )| | ( )| | ( )| 2 1 T T T T E X  d E x t dt E x t dt  52 48  S()定义为平稳随机信号的功率谱密度函数，简称功率谱     T E X S d S d T E X T T T T X X T T 2 2 | ( ) | ( ) lim ( ) 2 | ( ) | 1 lim 2 1 2                        