给出2k项： 一对k重复根 e[(G+Cx+.+C)cosBx+ 2=a±iB (D+D.x++Dx)sin Bx] 特征方程的每一个根都对应着通解中的一项，且每项各含一个任意常数，这样就得到阶常 系数齐次线性微分方程的通解：y=C出+C为++C 3.常系数非齐次线性微分方程 二阶常系数非齐次线性微分方程的一般形式为y+P四+四=∫x).求二阶常系数非齐 次线性微分方程的通解，归结为求对应的齐次方程y+四+少=0的通解和该非齐次方程本 身的一个特解.求二阶常系数齐次线性微分方程y'+四+4少=0的通解的问题在前面已经解 决，因此，只需讨论如何求二阶常系数非齐次线性微分方程的一个特解y*,下面介绍当方 程y+四+=f)中fx)取两种常见形式时y*的求法，即特定系数法。 (1)fx)=e“Px)型 方程y+p四+少=fx)有形如y产=xQ(xe“的特解，其中k=0、1、2分别对应于刀 不是特征方程2+m+q=0的根、是特征方程r2+m+q=0的单根和是特征方程 2+pr+q=0的二重根，而Q.(x)和P.()同为m次多项式，其系数待定. (2)fx)=e“[(x)+P(x))sinx]a型 方程少+四+=fx)有形如 y='e[R.(x)cosox+S.(x)sinox] 的特解，其中k按1+o(或2-o)不是特征方程的根、或是特征方程的根依次取0或1 而R(x)与S(x)同为m次多项式，其中m=max,m. 4.欧拉方程 形如xym+pxy++P-y+py=fx)的方程（其中B,P,.,p.为常数） 叫做欧拉方程.作变换x=d或1=加x,，如果采用记号D表示对！的求导运算，则 x=DD-)(D-k+1y,将其代入上述欧拉方程，得到以1为自变量的常系数线性 微分方程： ADD-(D-k+y=fe),其中A=l 求得该方程的解后，将1=nx代入即得原方程的解。一对 k 重复根 1,2 r i =    给出 2k 项： 1 2 [( x e C C x  + +. 1 )cos k C x x k  − + + 1 2 (D D x + + . 1 )sin ] k D x x k  − + 特征方程的每一个根都对应着通解中的一项，且每项各含一个任意常数，这样就得到 n 阶常 系数齐次线性微分方程的通解： 1 1 2 2 n n y C y C y C y = + + + ． 3．常系数非齐次线性微分方程 二阶常系数非齐次线性微分方程的一般形式为 y py qy f x   + + = ( ) ．求二阶常系数非齐 次线性微分方程的通解，归结为求对应的齐次方程 y py qy   + + = 0 的通解和该非齐次方程本 身的一个特解．求二阶常系数齐次线性微分方程 y py qy   + + = 0 的通解的问题在前面已经解 决，因此，只需讨论如何求二阶常系数非齐次线性微分方程的一个特解 y * ，下面介绍当方 程 y py qy f x   + + = ( ) 中 f x( ) 取两种常见形式时 y * 的求法，即待定系数法． （1） ( ) ( ) x m f x e P x  = 型 方程 y py qy f x   + + = ( ) 有形如 * ( ) k x m y x Q x e = 的特解，其中 k = 0 、1、2 分别对应于  不是特征 方程 2 r pr q + + = 0 的根、是 特征方 程 2 r pr q + + = 0 的单根和是 特征方程 2 r pr q + + = 0 的二重根，而 ( ) Q x m 和 ( ) P x m 同为 m 次多项式，其系数待定． （2） ( ) [ ( )cos ( )sin ] x l n f x e P x x P x x  = +   型 方程 y py qy f x   + + = ( ) 有形如 * [ ( )cos ( )sin ] k x m m y x e R x x S x x  = +   的特解，其中 k 按   + i （或   − i ）不是特征方程的根、或是特征方程的根依次取 0 或 1， 而 ( ) R x m 与 ( ) m S x 同为 m 次多项式，其中 m l n = max{ , }． 4．欧拉方程 形如 ( ) 1 ( 1) 1 1 ' ( ) n n n n n n x y p x y p xy p y f x − − + + + + = − 的方程（其中 1 p ， 2 p ， ， n p 为常数） 叫做欧拉方程．作变换 t x e = 或 t x = ln ， 如果采用记号 D 表示对 t 的求导运算 d dt ，则 ( ) ( 1) ( 1) k k x y D D D k y = − − + ，将其代入上述欧拉方程， 得到以 t 为自变量的常系数线性 微分方程： 0 ( 1) ( 1) ( ) n t k k p D D D k y f e =  − − + = ，其中 0 p =1， 求得该方程的解后，将 t x = ln 代入即得原方程的解．