该定理通常称为非齐次线性微分方程解的叠加原理.定理5与定理6也可以推广到n阶 非齐次线性微分方程。 2.常系数齐次线性微分方程 (1)二阶常系数齐次线性方程 a.称方程y'+四+y=0(其中p、q是常数)为二阶常系数齐次线性方程.方程 P2+m+q=0叫做方程y++y=0的特征方程，其中2、r的系数及常数项恰好依次 是该齐次方程中y,y及y的系数 b.求二阶常系数齐次线性微分方程y++=0的通解的步骤： 第一步：写出该齐次方程的特征方程2+pr+q=0: 第二步：求出以上特征方程的两个根与5： 第三步：根据特征方程的两个根的不同情形，按照下列表格写出该齐次方程的通解 特征方程产+pr+q=0的根r,5微分方程y+四+D=0的通解 两不相等的实根， y=Ce+C.ehw 两相等的实根：=5 y=(C+Cx)e 对共轭复根2=a士iB y=e(C cos Bx+C sin Bx) (2)n阶常系数齐次线性微分方程 阶常系数齐次线性微分方程的一般形式为 ++p.y=0, 其中A,P2,.,PP.都是常数，其对应的特征方程为： +p+P2++pr+.=0. 依据特征方程的根，可以写出其对应的微分方程通解中的项： 特征方程的根 微分方程通解中的对应项 单实根r 给出一项：Ce 对单复根r=a士B 给出两项：e严(Bx+C,sin Bx) k重实根r 给出k项：e(G+Cx+C) 该定理通常称为非齐次线性微分方程解的叠加原理．定理 5 与定理 6 也可以推广到 n 阶 非齐次线性微分方程． 2．常系数齐次线性微分方程 （1）二阶常系数齐次线性方程 a．称方程 y py qy   + + = 0 （其中 p 、 q 是常数）为二阶常系数齐次线性方程．方程 2 r pr q + + = 0 叫做方程 y py qy   + + = 0 的特征方程，其中 2 r 、 r 的系数及常数项恰好依次 是该齐次方程中 y y '', ' 及 y 的系数． b．求二阶常系数齐次线性微分方程 y py qy   + + = 0 的通解的步骤： 第一步：写出该齐次方程的特征方程 2 r pr q + + = 0 ； 第二步：求出以上特征方程的两个根 1 r 与 2 r ； 第三步：根据特征方程的两个根的不同情形，按照下列表格写出该齐次方程的通解． 特征方程 2 r pr q + + = 0 的根 1 2 r r, 微分方程 y py qy   + + = 0 的通解 两不相等的实根 1 2 r r, 1 2 1 2 r x r x y C e C e = + 两相等的实根 1 2 r r = 一对共轭复根 1,2 r i =    1 1 2 ( ) r x y C C x e = +1 2 ( cos sin ) x y e C x C x  = +   （2） n 阶常系数齐次线性微分方程 n 阶常系数齐次线性微分方程的一般形式为： ( ) ( 1) ( 2) 1 2 1 0 n n n n n y p y p y p y p y − − − + + + + + =  ， 其中 1 p , 2 p , 1 , , n n p p − 都是常数，其对应的特征方程为： 1 2 1 2 1 0 n n n n n r p r p r p r p − − + + + + + = − ． 依据特征方程的根，可以写出其对应的微分方程通解中的项： 特征方程的根 微分方程通解中的对应项 单实根 r 给出一项： rx Ce 一对单复根 r i =    给出两项： 1 2 ( cos sin ) x e C x C x    + k 重实根 r 给出 k 项： 1 2 ( rx e C C x + + . 1 ) k C xk −