《高等数学》下用教案 第九章多元函数微分法及其应用 注：①二元函数的定义城是平面上的区城，而二元函数的图像是空间的曲面。如二元函 数z=V口-x-y的图像是上半球面，定义城的是平而区城D:x2+y2≤a2; ②同理可知，三元函数“=f(x,,)的定义城是空间的区域，如函数： =√R2-x2-y2-2的定义城：={x,y,2x2+y2+z2≤R},Ω是空间的球体：一般自变 量为两个支两个以上的函数统称为多元函数。 二、多元函数的极限 定义设二元函数z=化，)在点B(化，)的某邻城内有定义（B可以除外)，A是一确 定的常数。若YE>0,36>0,当邻域内的任意一点P(x,y)满足不等式 0PP=V(x-x)+(0y-y)<8时，均有|fx,y)-AKe,称A为函数z=fx,y)当 (x,y)→(K,)时的二重极限，简称为函数的极限，记作imfx,)=A。 注①根据定义，极限存在与否与函数fx,y)在(x,)的状态无关，只与fx,y)在 B(%)的周固邻域内的状态有关： ②定义中极限存在，是指Px,)以任何方式趋于P心化，)时，函数都无限的接近于A: 即极限值与P→B的方式无关，即极限与路径无关； ③但是如果P(，)以不同的方式趋于P(x,)时，函数趋于不同的值可以断定函数的极 限一定不存在，即如果极限值与路径有关，函数的极限不存在。 ④二元函数极限的四则运算法则、夹逼准则等均与一元函数类似，可以借助于一元函数 求极限的方法求一些简单的二元函数的极限。 1数保归器 器别 例2东斑限之o: 共37页一第2页 惠衣安