2.二次型正定性的判定 定理12.实二次型f=xAx为正定二次型的充分必要 。条件是它的标准形的n个系数全为正数， 证：设可逆变换x=Cy,使 f(x)=ACy)=ky2+k2y22+...+ky2. 先证充分性.设k>0(i=1,2,,n).任给x≠0，则 y”=Cx0,故 f(c)=f(Gy)=ky12+k2y22+.+kyn2>0 故f是正定的. 2. 二次型正定性的判定 ⚫ 定理12. 实二次型 f =x TAx 为正定二次型的充分必要 ⚫ 条件是它的标准形的 n 个系数全为正数. 证: 设可逆变换 x=Cy，使 f (x)=f(Cy)=k1y1 2+k2y2 2+…+knyn 2 . 先证充分性. 设 ki >0 (i=1,2, …,n). 任给 x≠ 0,则 y = C-1x≠0, 故 f (x)= f (Cy) = k1y1 2+k2y2 2+…+knyn 2 > 0. 故 f 是正定的