ready )dxdy 因为D具有轮换对称性,所以 ∫em+e-b=( e-siny +elina)h 故5xe"hy d x= fxe-sin dy-yesindor (2)由(1)知 fxe in dy-ye"sin dr=[(einy +e-sinn)dxdy fein dxdy +[e-sinrdrdy eddy+‖le- dxdy(利用轮换对称性) 「 (en+ e-si)dxdy≥「1atdy=22 【评注】本题方法一与方法二中的定积分与二重积分是很难直接计算出来的,因此期 望通过计算出结果去证明恒等式与不等式是困难的另外,一个题由两部分构成时,求证第 二部分时应首先想到利用第一部分的结果,事实上,第一部分往往是起桥梁作用的 本题完全类似例题见《数学复习指南》P325的【例12.15】,相当于此例题中取 x)=eˉs,也就是说,本题是【例12.15】的特殊情形. 六、(本题满分10分) 某建筑工程打地基时,需用汽锤将桩打进土层.汽锤每次击打,都将克服土层对桩的阻 力而作功.设土层对桩的阻力的大小与桩被打进地下的深度成正比(比例系数为kk>0)汽 锤第一次击打将桩打进地下am根据设计方案,要求汽锤每次击打桩时所作的功与前一次 击打时所作的功之比为常数r(0<r<1).问 1)汽锤击打桩3次后,可将桩打进地下多深? (2)若击打次数不限,汽锤至多能将桩打进地下多深? 注:m表示长度单位米 【分析】本题属变力做功问题,可用定积分进行计算,而击打次数不限,相当于求数 列的极限 【详解】(1)设第n次击打后,桩被打进地下xn,第n次击打时,汽锤所作的功为 Wn(mn=1,2,3,…).由题设,当桩被打进地下的深度为x时,土层对桩的阻力的大小为kx, 所以 k W,=kxdx 2 由W2=W1可得10   − = + − − D x y x L y x e dy ye dx (e e )dxdy sin sin sin sin . 因为 D 具有轮换对称性，所以  − + D y x (e e )dxdy sin sin =  + − D y x (e e )dxdy sin sin ， 故 xe dy ye dx xe dy ye dx x L x y L sin y sin sin sin − = −   − − . (2) 由(1)知   − − − = + D x y x L y x e dy ye dx (e e )dxdy sin sin sin sin = e dxdy e dxdy D D y x   − + sin sin = e dxdy e dxdy D D x x   − + sin sin （利用轮换对称性） = ( ) 2 2 . sin sin 2 +  =    − e e dxdy dxdy D D x x 【评注】 本题方法一与方法二中的定积分与二重积分是很难直接计算出来的，因此期 望通过计算出结果去证明恒等式与不等式是困难的. 另外，一个题由两部分构成时，求证第 二部分时应首先想到利用第一部分的结果，事实上，第一部分往往是起桥梁作用的. 本题完全类似例题见《数学复习指南》P.325 的【例 12.15】, 相当于此例题中取 x x e sin ( ) −  = ，也就是说，本题是【例 12.15】的特殊情形. 六 、（本题满分 10 分） 某建筑工程打地基时，需用汽锤将桩打进土层. 汽锤每次击打，都将克服土层对桩的阻 力而作功. 设土层对桩的阻力的大小与桩被打进地下的深度成正比（比例系数为 k,k>0）.汽 锤第一次击打将桩打进地下 a m. 根据设计方案，要求汽锤每次击打桩时所作的功与前一次 击打时所作的功之比为常数 r(0<r<1). 问 (1) 汽锤击打桩 3 次后，可将桩打进地下多深？ (2) 若击打次数不限，汽锤至多能将桩打进地下多深？ （注：m 表示长度单位米.） 【分析】 本题属变力做功问题，可用定积分进行计算，而击打次数不限，相当于求数 列的极限. 【详解】 (1) 设第 n 次击打后，桩被打进地下 n x ，第 n 次击打时，汽锤所作的功为 W (n =1,2,3, ) n . 由题设，当桩被打进地下的深度为 x 时，土层对桩的阻力的大小为 kx ， 所以 2 2 1 0 1 2 2 1 a k x k W kxdx x = = =  ， ( ). 2 ( ) 2 2 2 2 2 1 2 2 2 2 1 x a k x x k W kxdx x x = = − = −  由 2 1 W = rW 可得