a=rd 即x2=(1+r)a W3 kxdx= (3-x2)=[x-(1+r2 由W3=rW2=rW可得 x2-(1+r)a 从而x3=√1+r+r2a 即汽锤击打3次后,可将桩打进地下√1+r+r2am (2)由归纳法,设xn=√1+r+r +ra W kxdx=-( =[x21-(1 r+…+P 由于Wn1=rWn=rWn1=…=r"W1,故得 从而 √1 于是mV1-r 即若击打次数不限,汽锤至多能将桩打进地下1=rm 【评注】本题巧妙地将变力作功与数列极限两个知识点综合起来了,有一定难度。但 用定积分求变力做功并不是什么新问题,何况本题的变力十分简单,变力更复杂的情形可参 见《数学复习指南》P202的【例744-45】 七、(本题满分12分) 设函数y=y(x)在(-∞,+∞)内具有二阶导数,且y’≠0,x=x(y)是y=y(x)的反函数 ()试将x=X)所满足的微分方程4x+(y+ sin xx4)=0变换为y=(8)满足的微 分方程;11 2 2 2 2 x − a = ra 即 (1 ) . 2 2 x2 = + r a [ (1 ) ]. 2 ( ) 2 2 2 3 2 2 2 3 3 3 2 x r a k x x k W kxdx x x = = − = − +  由 1 2 W3 = rW2 = r W 可得 2 2 2 2 3 x − (1+ r)a = r a ， 从而 x r r a 2 3 = 1+ + ， 即汽锤击打 3 次后，可将桩打进地下 r r am 2 1+ + . （2） 由归纳法，设 x r r r a n n 2 1 1 − = + + ++ ，则 ( ) 2 2 2 1 1 1 n n x x n x x k W kxdx n n + = = + −  + = [ (1 ) ]. 2 2 1 2 x 1 r r a k n n − + − + ++ 由于 1 1 2 W 1 rW r W r W n n+ = n = n− = = ，故得 2 1 2 2 1 x (1 r r )a r a n n n − + + + = − +  , 从而 . 1 1 1 1 1 a r r x r r a n n n − − = + + + = + +  于是 a r xn n − + = → 1 1 lim 1 ， 即若击打次数不限，汽锤至多能将桩打进地下 a 1− r 1 m. 【评注】 本题巧妙地将变力作功与数列极限两个知识点综合起来了，有一定难度。但 用定积分求变力做功并不是什么新问题，何况本题的变力十分简单，变力更复杂的情形可参 见《数学复习指南》P.202 的【例 7.44-45】. 七 、（本题满分 12 分） 设函数 y=y(x)在 (−,+) 内具有二阶导数，且 y   0, x = x( y) 是 y=y(x)的反函数. (1) 试将 x=x(y)所满足的微分方程 ( sin )( ) 0 3 2 2 + + = dy dx y x dy d x 变换为 y=y(x)满足的微 分方程；