定理1（必要条件）若函数z=f(x,y)在点(x,y)可微， 则该函数在该点偏导数 0肛0肥必存在，且有 Ox'Oy dz= 8x 证：由全增量公式△z=A△x+B△y+0(P),令△y=0, 得到对x的偏增量 △x2=f(x+△x,y)-f(x,y)=A△x+o(△x) 0z lim △x2=A Ox△x0△x 0z 同样可证 ay =B,因此有dz= Ax+ 8x 02 by y 2009年7月5日星期日 5 目录 上页 下页 返回 2009年7月5日星期日 5 目录 上页 下页 返回 若函数 z = f (x, y) 在点 (x, y) 可微 , 则该函数在该点偏导数 y z x z ∂ ∂ ∂ ∂ , y y z x x z z Δ ∂ ∂ +Δ ∂ ∂ d = z f y f y), (), ( Δ x = − x z ∂ ∂ ∴ 同样可证 B, y z = ∂ ∂ y y z x x z z Δ ∂ ∂ +Δ ∂ ∂ d = 证: 由全增量公式 Δ z = ΔxA + B Δy + o ρ ,)( 令 Δ y = ,0 = Δ + ΔxoxA )( 必存在,且有 得到对 x 的偏增量 + Δxx x 因此有 x z x x Δ Δ = →Δ 0 lim = A 定理 1 (必要条件 )