(数学分析》下册 第十五章Fourier级数 海南大学数学系 6.=汇sn”匹 n=1,2,. 当函数fx)在区间[-l,小上按段光滑时，f)可展开为Fourier级数。 能期三角面敏系红受血宁心学a受-是区间-1】 上的正交函数系统， 「0，-5<x<0. 例1把届数)-，0<5展开皮o级 二、偶函数和奇函数的Fourier级数 (一)区间-l,I]上偶函数和奇函数的Fourier级数 设∫是以21为周期的偶函数，或是定义在H,)上的偶函数，则 a-reas学a -f/os产n=02 6=jf()sm"k=0,n=12 于是 w是+2w受 (7) 其中a如(6)所示，(7)的右边为余弦级数。 同理，若/是以21为周期的奇函数，或是定义在H,上的奇函数，则 ()eo.2 6并rn℉=0n=2 (8) 于是 (-.in s (9) 其中b如(8)所示，(9)的右边为正弦级数。《数学分析》下册 第十五章 Fourier 级数 海南大学数学系 2 bn = − l l dx l n x f x l  ( )sin 1 , n =1, 2 ,  当函数 f (x) 在区间 [ − l , l ] 上按段光滑时, f (x) 可展开为 Fourier 级数. 註明三角函数系 {1, cos ,sin ,, cos ,sin ,} l n x l n x l x l x    是区间 [ − l , l ] 上的正交函数系统 . 例１把函数      −   = 3, 0 5 0 , 5 0 , ( ) x x f x 展开成 Fourier 级数. 二、 偶函数和奇函数的 Fourier 级数 （一）区间 [ , ] −l l 上偶函数和奇函数的 Fourier 级数 设 f 是以 2l 为周期的偶函数，或是定义在 −l l,  上的偶函数，则 ( ) ( ) ( ) 0 1 cos 2 cos , 0,1,2. , sin 0, 1,2, . l n l l l n l n x a f x dx l l n x f x dx n l l n x b f x dx n l    − −  =     = =    = = =      (6) 于是 ( ) 0 1 cos 2 n n a n x f x a l   = + （7） 其中 n a 如(6)所示，（7）的右边为余弦级数。 同理，若 f 是以 2l 为周期的奇函数，或是定义在 −l l,  上的奇函数，则 ( ) ( ) 0 1 cos 0, 0,1, 2, , 2 sin 0, 1, 2, . l n l l n n x a f x dx n l l n x b f x dx n l l   −  = = =     = = =     (8) 于是 ( ) 1 sin , n n n x f x a l   =  （9） 其中 n b 如(8)所示，（9）的右边为正弦级数