4-6已知单位反馈系统的开环传递函数为 s(S+1)(0.5s+1) (1)用根轨迹分析系统的稳定性 (2)若主导极点具有阻尼比5=0.5,求系统的性能指标。 【解】(1)首先,零极点标准型的开环传递函数为G(=~3 s(s+1)(s+2)s(S+1)(s+2) 开环的零极点P=0,P2=-1,P3=-2 渐近线n-m=3o=-1,9n={180 分离点:d=1+5,与虚轴的交点:k=30=/互,这是非常见的典型系统的根 轨迹,如下图 (2)当5=0.5,在S平面做60度的射线,交根轨迹与S点,此时 s1=-0.50n+j025on,在当前的增益下,闭环系统有三个根,共轭复根s s2,实根-s3。另由特征方程与根的关系 D(s)=s3+3s2+2+2k=(s+S)s2+ons+on)=s3+(an+s3)s2+(on+ns3)s+on2S3 利用代数关系,可得 n+On3=2,计算,On=2/3,3=71/3,k=14/27 o-s=2k 代入5=0.5,S12=-0.334±10.57,s3=-2.33,由于负实根远大于复根的实部,故可利用4-6 已知单位反馈系统的开环传递函数为 ( ) ( 1)(0.5 1) k G s s s s = + + （1） 用根轨迹分析系统的稳定性； （2）若主导极点具有阻尼比ξ=0.5，求系统的性能指标。 【解】 （1）首先，零极点标准型的开环传递函数为 2 ( ) ( 1)( 2) ( 1)( 2) k K g G s s s s s s s = = + + + + 开环的零极点 1 2 3 p p p = = − = − 0, 1, 2 渐近线 0 0 0 60 3, 1, 180 60 n m     − = = − =  − 分离点： 3 1 3 d = − + ，与虚轴的交点： k j = =  3, 2  ，这是非常常见的典型系统的根 轨迹，如下图 （2） 当  = 0.5 ， 在 S 平面 做 60 度 的 射线 ，交 根 轨迹 与 s1 点， 此 时 ， 1 0.5 0.25 n n s j = − +   ，在当前的增益下，闭环系统有三个根，共轭复根 s1、 s2,实根-s3。另由特征方程与根的关系 3 2 2 2 3 2 2 2 3 3 3 3 ( ) 3 2 2 ( )( ) ( ) ( ) D s s s s k s s s s s s s s s s = + + + = + + + = + + + + +       n n n n n n 利用代数关系，可得 3 2 3 2 3 3 2 2 n n n n s s s k     + = + = = ，计算， 3 2/ 3, 7 / 3, 14/ 27 n  = = = s k 代入 1,2 3  = = −  = − 0.5, 0.334 0.57, 2.33 s j s ，由于负实根远大于复根的实部，故可利用