·642· 智能系统学报 第11卷 逻辑具有以任意精度逼近非线性连续函数的能 领航者 力[0，是估计系统中不确定性的可行方法。 针对未知上界的不确定性，本文结合滑模控制 和模糊逻辑，研究了多机器人系统编队控制问题。 首先，根据跟随者与领航者的相对位置与相对相角， 建立编队系统的动力学模型：然后，采用模糊推理系 统逼近系统中的不确定性，设计滑模控制器稳定相 对位置与相对相角，应用Lyapunov条件证明控制系 统的稳定性和逼近误差的收敛性：最后，通过仿真实 跟随者大 验验证所提出方法的有效性。 1系统描述 图1跟随一领航者编队控制模型 本文以半径为r的圆形非完整轮式移动机器人 Fig.1 Leader-follower formation of multiple robots 为对象，其理想运动学和动力学模型见文献[9]。 对相对相角(1)和位置(2)求二阶导，令x= 采用领航-跟随者编队方法，在一组由n个非完整 [x,x2]T=[l,中：]T,得到跟随-领航者编队控制的 移动机器人组成的编队系统中，选机器人讠为领航 动力学模型的状态空间表达式为 者，剩余n-1个为跟随者。在跟随者中，选择跟随 元k=Gue+d(xk,xt,t) (3) 者k与领航者i组成编队控制模型，其结构如图1 所示。 令9=中+0，-0，各参数矩阵描述如下 在图1中，跟随者k与领航者i的相对相角和 相对距离分别为 d(x法，x,t)=G△山4+L(I2+4:):+F法+P法 cos 0 ψt=T+5t-0 (1) rsin G= sin i re0sPk;Lt三 sinψk la=(x-rcos 0)+(y;-y:-rsin 0) -1 (2) yi-y-rsin 0 I2是2×2单位矩阵；Fk=[F,F2]I;P= 式中：t=arctan x:-xg-rc0s0° [P,P2]';4和4，是2×2扰动矩阵； P,=-(Tx-Ta)cos(中t+日：)-(T-T)sin(中k+0)+rTiosing P=[(a)sin(a +0)-()cos()+rcosda F1=w2l+2ψ0，lu+lt-rcos92-(y0-y0)cos(ψu+9)-(x,0:-元0)sin(中u+0:) F,=[-(0。-i,)sim(a+0）-(。-)eos(a+9)-用asin中」 [(y-y)cos(中+0：)-(-x)sin(ψt+0:）-cos中t)] 式中：πs、T、π、π、和π0∈R分别为领航者示。在图2中，输人向量a=[a1a2…am]I∈U,输 和跟随者的不确定性。 出向量b=[b,b2…bn]'∈V,第l条模糊规则为 建模中主要假设为：领航者与跟随者之间无通 R:If a is Af,a is A,..and a is A 讯延迟：领航者与跟随者均可知自身位置和速度：领 then b1isB1,b2isB,…and b is B。 航者通过通讯将其位置和速度传递给跟随者。 式中：4(p=1,2,…,m)和B(q=1,2,…,n)分别为 2控制系统设计及稳定性分析 第1条规则中语言变量的模糊集合。采用单值模糊 器、乘积模糊机和中心平均解模糊器，则FS的第q 2.1模糊补偿器的设计 个输出为 模糊推理系统(FIS)的数学本质是从集合 U∈Rm到V∈R"的非线性映射，其结构图如图2所 6,=∑6,5(a)=85(a) (4)逻辑具有以任意精度逼近非线性连续函数的能 力［１０］ ，是估计系统中不确定性的可行方法。 针对未知上界的不确定性，本文结合滑模控制 和模糊逻辑，研究了多机器人系统编队控制问题。 首先，根据跟随者与领航者的相对位置与相对相角， 建立编队系统的动力学模型；然后，采用模糊推理系 统逼近系统中的不确定性，设计滑模控制器稳定相 对位置与相对相角，应用 Ｌｙａｐｕｎｏｖ 条件证明控制系 统的稳定性和逼近误差的收敛性；最后，通过仿真实 验验证所提出方法的有效性。 １ 系统描述 本文以半径为 ｒ 的圆形非完整轮式移动机器人 为对象，其理想运动学和动力学模型见文献［ ９］。 采用领航－跟随者编队方法，在一组由 ｎ 个非完整 移动机器人组成的编队系统中，选机器人 ｉ 为领航 者，剩余 ｎ－１ 个为跟随者。 在跟随者中，选择跟随 者 ｋ 与领航者 ｉ 组成编队控制模型，其结构如图 １ 所示。 在图 １ 中，跟随者 ｋ 与领航者 ｉ 的相对相角和 相对距离分别为 ψｉｋ ＝ π ＋ ζｉｋ － θｉ （１） ｌ ｉｋ ＝ （ｘｉ － ｘｋ － ｒｃｏｓ θｋ） ２ ＋ （ｙｉ － ｙｋ － ｒｓｉｎ θｋ） ２ （２） 式中：ζｉｋ ＝ ａｒｃｔａｎ ｙｉ －ｙｋ －ｒｓｉｎ θｋ ｘｉ －ｘｋ －ｒｃｏｓ θｋ 。 图 １ 跟随—领航者编队控制模型 Ｆｉｇ．１ Ｌｅａｄｅｒ⁃ｆｏｌｌｏｗｅｒ ｆｏｒｍａｔｉｏｎ ｏｆ ｍｕｌｔｉｐｌｅ ｒｏｂｏｔｓ 对相 对 相 角 （ １） 和 位 置 （ ２） 求 二 阶 导， 令 ｘｉｋ ＝ ［ｘ１ ｘ２ ］ Ｔ ＝ ［ｌ ｉｋ ψｉｋ ］ Ｔ ，得到跟随－领航者编队控制的 动力学模型的状态空间表达式为 ｘ ¨ ｉｋ ＝ Ｇｉｋｕｋ ＋ ｄｉｋ（ｘｉｋ，ｘ · ｉｋ，ｔ） （３） 令 φｉｋ ＝ψｉｋ ＋θｉ －θｋ ，各参数矩阵描述如下 ｄｉｋ（ｘｉｋ，ｘ · ｉｋ，ｔ） ＝ ＧｉｋΔｋｕｋ ＋ Ｌｉｋ（Ｉ２ ＋ Δｉ）ｕｉ ＋ Ｆｉｋ ＋ Ｐｉｋ Ｇｉｋ ＝ ｃｏｓ φｉｋ ｒｓｉｎ φｉｋ － ｓｉｎ φｉｋ ｌ ｉｋ ｒｃｏｓ φｉｋ ｌ ｉｋ é ë ê ê êê ù û ú ú úú ；Ｌｉｋ ＝ － ｃｏｓ ψｉｋ ０ ｓｉｎ ψｉｋ ｌ ｉｋ － １ é ë ê ê êê ù û ú ú úú ； Ｉ２ 是 ２ × ２ 单 位 矩 阵； Ｆｉｋ ＝ ［Ｆ１ Ｆ２ ］ Ｔ ； Ｐｉｋ ＝ ［Ｐ１ Ｐ２ ］ Ｔ ；Δｋ 和Δｉ 是 ２×２ 扰动矩阵； Ｐ１ ＝ － （πｉｘ － πｋｘ）ｃｏｓ（ψｉｋ ＋ θｉ） － （πｉｙ － πｋｙ）ｓｉｎ（ψｉｋ ＋ θｉ） ＋ ｒπｋθ ｓｉｎφｉｋ Ｐ２ ＝ ［（πｉｘ － πｋｙ）ｓｉｎ（ψｉｋ ＋ θ） － （πｉｙ － πｋｙ）ｃｏｓ（ψｉｋ ＋ θｉ） ＋ ｒπｋθ ｃｏｓϕｉｋ － ｌ ｉｋπｉθ］ ｌ ｉｋ Ｆ１ ＝ ψ ·２ ｉｋ ｌ ｉｋ ＋ ２ψ · ｉｋ θ · ｉ ｌ ｉｋ ＋ θ · ｉ ２ ｌ ｉｋ － ｒｃｏｓ φｉｋ θ · ｋ ２ － （ｙ · ｋ θ · ｋ － ｙ · ｉ θ · ｉ）ｃｏｓ（ψｉｋ ＋ θｉ） － （ｘ · ｉ θ · ｉ － ｘ · ｋ θ · ｋ）ｓｉｎ（ψｉｋ ＋ θｉ） Ｆ２ ＝ ［ － （ｙ · ｋϕ · ｉｋ － ψ · ｉｋ ｙ · ｉ）ｓｉｎ（ψｉｋ ＋ θｉ） － （ｘ · ｋϕ · ｉｋ － ψ · ｉｋ ｘ · ）ｃｏｓ（ψｉｋ ＋ θｉ） － ｒθ · ｋϕ · ｉｋ ｓｉｎ ϕｉｋ］ ｌ ｉｋ ＋ ［ｌ · ｉｋ（（ｙ · ｉ － ｙ · ｋ）ｃｏｓ（ψｉｋ ＋ θｉ） － （ｘ · ｉ － ｘ · ｋ）ｓｉｎ（ψｉｋ ＋ θｉ） － ｒθ · ｋ ｃｏｓ ϕｉｋ）］ ｌ ２ ｉｋ 式中：πｋｘ、πｋｙ、πｋθ、πｉｘ、πｉｙ和 πｉθ∈Ｒ １ 分别为领航者 和跟随者的不确定性。 建模中主要假设为：领航者与跟随者之间无通 讯延迟；领航者与跟随者均可知自身位置和速度；领 航者通过通讯将其位置和速度传递给跟随者。 ２ 控制系统设计及稳定性分析 ２．１ 模糊补偿器的设计 模糊 推 理 系 统 （ ＦＩＳ） 的 数 学 本 质 是 从 集 合 Ｕ∈Ｒ ｍ 到 Ｖ∈Ｒ ｎ的非线性映射，其结构图如图 ２ 所 示。 在图 ２ 中，输入向量 ａ ＝ ［ ａ１ ａ２… ａｍ ］ Ｔ∈Ｕ，输 出向量 ｂ ＝ ［ｂ１ ｂ２… ｂｎ ］ Ｔ∈Ｖ，第 ｌ 条模糊规则为 Ｒｌ：Ｉｆ ａ１ ｉｓ Ａ ｌ １ ，ａ２ ｉｓ Ａ ｌ ２ ， … ａｎｄ ａｍ ｉｓ Ａ ｌ ｍ ， ｔｈｅｎ ｂ１ ｉｓ Ｂ ｌ １ ，ｂ２ ｉｓ Ｂ ｌ ２ ，… ａｎｄ ｂｍ ｉｓ Ｂ ｌ ｎ 。 式中：Ａ ｌ ｐ（ｐ ＝ １，２，…，ｍ）和 Ｂ ｌ ｑ（ｑ ＝ １，２，…，ｎ）分别为 第 ｌ 条规则中语言变量的模糊集合。 采用单值模糊 器、乘积模糊机和中心平均解模糊器，则 ＦＩＳ 的第 ｑ 个输出为 ｂｑ ＝ ∑ Ｍ ｌ ＝ １ ｂ － ｑ ξｌ（ａ） ＝ Θ Ｔ ｑ ξ（ａ） （４） ·６４２· 智 能 系 统 学 报 第 １１ 卷