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第5期 钱殿伟:基于模糊滑模的多机器人系统编队控制 ·643· Θ°=a罗min[sp‖d(xd8)-da(法dt,)] 5(a) (8) 式中X。为包含日的有界集合。 定义逼近误差的最小值向量为 p=d(x,x|⊙°)-dt(xt,xt,t)(9) 式中p=[P1P2]T∈R21。 针对多机器人编队设计的FIS是一个4输入2 输出系统,输入变量具有5个模糊子集,所以FIS的 反模糊化 规则库有54条模糊规则,即M=625。 规则化 模糊化 2.2滑模控制器的设计 图2模糊推理系统结构图 定义滑模面 Fig.2 Structure of the FIS Sik(t)=xk+Axik (10) 式中:专(a)=[5(a)52(a)…专w(a)]',8,= 式中:S(t)=[st,(t)s法,2(t)]T∈Rx1,x4=x4-x∈ [0,及…]T,且O,为参数矩阵O的第g R2x1为跟踪误差向量,x#为期望轨迹向量,入为一个 2×2的正定矩阵。 列,M为模糊规则总数。专(a)是模糊基函数向量, 定义参考向量 其中的第!个元素可表示为 6(t)=x4(t)-rt(t) (11) Π=g(a,) (a)= (5) 设计滑模控制律 言(-(o,) u=-Ga[da(x,)-6 +ksa+nsign(sa)] 式中u4(a,)为高斯型隶属函数。 (12) 式中:K和)均为2×2的对角矩阵,即k=diag(K1, y(an)=exp (6) 202 K2),n=diag(n1,n2),其中K1K2n1和72为设计参 式中c,和σ,分别代表此隶属函数的中心和宽度。 数;sign(st)=[sign(sk,1)sign(s法.2)]T,sign(·)为 针对多机器人编队设计FIS,FIS的输入为a= 符号函数。 2.3稳定性证明 [l4中i少]T,FIS的输出为不确定性的逼近值, 定理1对于机器人编队系统式(5),设计模糊 即b=d(xk,x法,t)。 补偿器式(7)和滑模控制律式(12)。如定义参数自 FIS的输入与输出变量均模糊化为负大(NB), 适应律为 负小(NS),零(Z0),正小(PS)和正大(PB)5个模 糊子集,即A=B。={NB,NS,Z0,PS,PB}。所设计 O,=gsk.5(xt,xt) (13) 的FIS第l条模糊规则如下: 式中:T,>0eR,K,>0,n>lp,1(q=1,2),那么多机 R:If lais A,ψisA2,ais As andψtisA4, 器人编队控制系统式(5)是渐近稳定的。 证明选取李雅普诺夫函数: then b is Bi and b2 is B2. 根据式(4),不确定性的逼近值可描述为 (0)=2(ssa+立0gr0,) (14) 9=1 da(x) d4(x4,x4⊙)= 式中:⊙,=⊙-⊙,⊙,代表最优参数矩阵0°的第 da2(x) q列向量。对式(14)求一阶导可得 (7) ig(xa,xa) ⊙5(xt,x)= ()=ss4+∑0T,a (15) 85(x,c)」 g=1 由式(10)和式(11)可知 式中:参数矩阵日ER2,专(xk,在)∈R21。 $张=法-6 (16) 设0存在最优参数矩阵日·,且⊙·满足 将式(3)和式(16)依次代入式(15)可得图 2 模糊推理系统结构图 Fig.2 Structure of the FIS 式中: ξ ( a) = [ ξ1 ( a) ξ2 ( a) … ξM ( a)] T , Θq = [b 1 q b 2 q … b M q ] T ,且 Θq 为参数矩阵 ΘM×n 的第 q 列,M 为模糊规则总数。 ξ( a) 是模糊基函数向量, 其中的第 l 个元素可表示为 ξl(a) = Π m p = 1μAl p (ap) ∑ M l = 1 (Π m p = 1μAl p (ap)) (5) 式中 μAl p (ap)为高斯型隶属函数。 μAl p (ap) = exp - (ap - cp) 2 2σ 2 p æ è ç ö ø ÷ (6) 式中 cp 和 σp 分别代表此隶属函数的中心和宽度。 针对多机器人编队设计 FIS,FIS 的输入为 a = [l ik ψik l · ik ψ · ik] T ,FIS 的输出为不确定性的逼近值, 即b = d ^ ik(xik,x · ik,t)。 FIS 的输入与输出变量均模糊化为负大(NB), 负小(NS),零( ZO),正小( PS) 和正大( PB) 5 个模 糊子集,即 A l p =B l p = {NB, NS,ZO,PS,PB}。 所设计 的 FIS 第 l 条模糊规则如下: Rl:If l ik is A l 1 ,ψik is A l 2 ,l · ik is A l 3 and ψ · ik is A l 4 , then b1 is B l 1 and b2 is B l 2 . 根据式(4),不确定性的逼近值可描述为 d ^ ik(xik,x · ik Θ) = d ^ ik,1(xik,x · ik Θ) d ^ ik,2(xik,x · ik Θ) é ë ê ê ê ù û ú ú ú = Θ T ξ(xik,x · ik) = Θ T 1 ξ(xik,x · ik) Θ T 2 ξ(xik,x · ik) é ë ê ê ê ù û ú ú ú (7) 式中:参数矩阵 Θ∈R 625×2 ,ξ(xik,x · ik)∈R 625×1 。 设 Θ 存在最优参数矩阵 Θ ∗ ,且 Θ ∗满足 Θ ∗ = argmin Θ∈χ 0 sup‖d ^ ik(xik,x · ik Θ) - dik(xik,x · [ ik,t)‖] (8) 式中:χ 0 为包含 Θ 的有界集合。 定义逼近误差的最小值向量为 ρ = d ^ ik(xik,x · ik Θ ∗ ) - dik(xik,x · ik,t) (9) 式中:ρ = [ρ1 ρ2 ] T∈R 2×1 。 针对多机器人编队设计的 FIS 是一个 4 输入 2 输出系统,输入变量具有 5 个模糊子集,所以 FIS 的 规则库有 54 条模糊规则,即 M= 625。 2.2 滑模控制器的设计 定义滑模面 sik(t) = x · eik + λxeik (10) 式中:sik(t)= [sik,1(t) sik,2(t)] T∈R 2×1 ,xeik = xik -xdik∈ R 2×1为跟踪误差向量,xdik为期望轨迹向量,λ 为一个 2×2 的正定矩阵。 定义参考向量 δ(t) = x · dik(t) - λxeik(t) (11) 设计滑模控制律 uk = - Gik[d ^ ik(xik,x · ik Θ) - δ · + κsik + ηsign(sik)] (12) 式中:κ 和 η 均为 2×2 的对角矩阵,即 κ = diag(κ1 , κ2 ),η= diag(η1 ,η2 ),其中 κ1 、κ2 、η1 和 η2 为设计参 数;sign(sik)= [sign(sik,1 ) sign( sik,2 )] T ,sign(·)为 符号函数。 2.3 稳定性证明 定理 1 对于机器人编队系统式(5),设计模糊 补偿器式(7)和滑模控制律式(12)。 如定义参数自 适应律为 Θ · q = Γ -1 q sik,qξ(xik,x · ik) (13) 式中:Γq>0∈R 1 ,κq>0,ηq> | ρq | (q = 1,2),那么多机 器人编队控制系统式(5)是渐近稳定的。 证明 选取李雅普诺夫函数: V(t) = 1 2 (s T ik sik + ∑ 2 q = 1 Θ ~ T qΓqΘ ~ q) (14) 式中:Θ ~ q = Θ ∗ q -Θq,Θ ∗ q 代表最优参数矩阵 Θ ∗ 的第 q 列向量。 对式(14)求一阶导可得 V · (t) = s T ik s · ik + ∑ 2 q = 1 Θ ~ T qΓqΘ ~ q (15) 由式(10)和式(11)可知 s · ik = x¨ ik - δ · (16) 将式(3)和式(16)依次代入式(15)可得 第 5 期 钱殿伟:基于模糊滑模的多机器人系统编队控制 ·643·
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