第5期 钱殿伟：基于模糊滑模的多机器人系统编队控制 ·643· Θ°=a罗min[sp‖d(xd8)-da(法dt,)] 5(a) (8) 式中X。为包含日的有界集合。 定义逼近误差的最小值向量为 p=d(x,x|⊙°)-dt(xt,xt,t)(9) 式中p=[P1P2]T∈R21。 针对多机器人编队设计的FIS是一个4输入2 输出系统，输入变量具有5个模糊子集，所以FIS的 反模糊化 规则库有54条模糊规则，即M=625。 规则化 模糊化 2.2滑模控制器的设计 图2模糊推理系统结构图 定义滑模面 Fig.2 Structure of the FIS Sik(t)=xk+Axik (10) 式中：专(a)=[5(a)52(a)…专w(a)]',8,= 式中：S(t)=[st,(t)s法，2(t)]T∈Rx1,x4=x4-x∈ [0,及…]T,且O,为参数矩阵O的第g R2x1为跟踪误差向量，x#为期望轨迹向量，入为一个 2×2的正定矩阵。 列，M为模糊规则总数。专(a)是模糊基函数向量， 定义参考向量 其中的第！个元素可表示为 6(t)=x4(t）-rt(t) (11) Π=g(a,） (a)= (5) 设计滑模控制律 言(-(o,) u=-Ga[da(x,)-6 +ksa+nsign(sa)] 式中u4(a,)为高斯型隶属函数。 (12) 式中：K和)均为2×2的对角矩阵，即k=diag(K1, y(an）=exp (6) 202 K2),n=diag(n1,n2),其中K1K2n1和72为设计参 式中c,和σ，分别代表此隶属函数的中心和宽度。 数；sign(st)=[sign(sk,1）sign(s法.2）]T,sign(·）为 针对多机器人编队设计FIS,FIS的输入为a= 符号函数。 2.3稳定性证明 [l4中i少]T,FIS的输出为不确定性的逼近值， 定理1对于机器人编队系统式(5)，设计模糊 即b=d(xk,x法，t)。 补偿器式(7)和滑模控制律式(12)。如定义参数自 FIS的输入与输出变量均模糊化为负大(NB), 适应律为 负小(NS),零(Z0),正小(PS)和正大(PB)5个模 糊子集，即A=B。={NB,NS,Z0,PS,PB}。所设计 O,=gsk.5(xt,xt） (13) 的FIS第l条模糊规则如下： 式中：T,>0eR,K,>0,n>lp,1(q=1,2),那么多机 R:If lais A,ψisA2,ais As andψtisA4, 器人编队控制系统式(5)是渐近稳定的。 证明选取李雅普诺夫函数： then b is Bi and b2 is B2. 根据式(4)，不确定性的逼近值可描述为 (0)=2(ssa+立0gr0,) (14) 9=1 da(x) d4(x4,x4⊙)= 式中：⊙，=⊙-⊙，⊙，代表最优参数矩阵0°的第 da2(x) q列向量。对式(14)求一阶导可得 (7) ig(xa,xa) ⊙5(xt,x)= ()=ss4+∑0T,a (15) 85(x,c)」 g=1 由式(10)和式(11)可知 式中：参数矩阵日ER2,专(xk,在)∈R21。 $张=法-6 (16) 设0存在最优参数矩阵日·，且⊙·满足 将式(3)和式(16)依次代入式(15)可得图 ２ 模糊推理系统结构图 Ｆｉｇ．２ Ｓｔｒｕｃｔｕｒｅ ｏｆ ｔｈｅ ＦＩＳ 式中： ξ （ ａ） ＝ ［ ξ１ （ ａ） ξ２ （ ａ） … ξＭ （ ａ）］ Ｔ ， Θｑ ＝ ［ｂ １ ｑ ｂ ２ ｑ … ｂ Ｍ ｑ ］ Ｔ ，且 Θｑ 为参数矩阵 ΘＭ×ｎ 的第 ｑ 列，Ｍ 为模糊规则总数。 ξ（ ａ） 是模糊基函数向量， 其中的第 ｌ 个元素可表示为 ξｌ（ａ） ＝ Π ｍ ｐ ＝ １μＡｌ ｐ （ａｐ） ∑ Ｍ ｌ ＝ １ （Π ｍ ｐ ＝ １μＡｌ ｐ （ａｐ）） （５） 式中 μＡｌ ｐ （ａｐ）为高斯型隶属函数。 μＡｌ ｐ （ａｐ） ＝ ｅｘｐ － （ａｐ － ｃｐ） ２ ２σ ２ ｐ æ è ç ö ø ÷ （６） 式中 ｃｐ 和 σｐ 分别代表此隶属函数的中心和宽度。 针对多机器人编队设计 ＦＩＳ，ＦＩＳ 的输入为 ａ ＝ ［ｌ ｉｋ ψｉｋ ｌ · ｉｋ ψ · ｉｋ］ Ｔ ，ＦＩＳ 的输出为不确定性的逼近值， 即ｂ ＝ ｄ ＾ ｉｋ（ｘｉｋ，ｘ · ｉｋ，ｔ）。 ＦＩＳ 的输入与输出变量均模糊化为负大（ＮＢ）， 负小（ＮＳ），零（ ＺＯ），正小（ ＰＳ） 和正大（ ＰＢ） ５ 个模 糊子集，即 Ａ ｌ ｐ ＝Ｂ ｌ ｐ ＝ ｛ＮＢ， ＮＳ，ＺＯ，ＰＳ，ＰＢ｝。 所设计 的 ＦＩＳ 第 ｌ 条模糊规则如下： Ｒｌ：Ｉｆ ｌ ｉｋ ｉｓ Ａ ｌ １ ，ψｉｋ ｉｓ Ａ ｌ ２ ，ｌ · ｉｋ ｉｓ Ａ ｌ ３ ａｎｄ ψ · ｉｋ ｉｓ Ａ ｌ ４ ， ｔｈｅｎ ｂ１ ｉｓ Ｂ ｌ １ ａｎｄ ｂ２ ｉｓ Ｂ ｌ ２ ． 根据式（４），不确定性的逼近值可描述为 ｄ ＾ ｉｋ（ｘｉｋ，ｘ · ｉｋ Θ） ＝ ｄ ＾ ｉｋ，１（ｘｉｋ，ｘ · ｉｋ Θ） ｄ ＾ ｉｋ，２（ｘｉｋ，ｘ · ｉｋ Θ） é ë ê ê ê ù û ú ú ú ＝ Θ Ｔ ξ（ｘｉｋ，ｘ · ｉｋ） ＝ Θ Ｔ １ ξ（ｘｉｋ，ｘ · ｉｋ） Θ Ｔ ２ ξ（ｘｉｋ，ｘ · ｉｋ） é ë ê ê ê ù û ú ú ú （７） 式中：参数矩阵 Θ∈Ｒ ６２５×２ ，ξ（ｘｉｋ，ｘ · ｉｋ）∈Ｒ ６２５×１ 。 设 Θ 存在最优参数矩阵 Θ ∗ ，且 Θ ∗满足 Θ ∗ ＝ ａｒｇｍｉｎ Θ∈χ ０ ｓｕｐ‖ｄ ＾ ｉｋ（ｘｉｋ，ｘ · ｉｋ Θ） － ｄｉｋ（ｘｉｋ，ｘ · [ ｉｋ，ｔ）‖] （８） 式中：χ ０ 为包含 Θ 的有界集合。 定义逼近误差的最小值向量为 ρ ＝ ｄ ＾ ｉｋ（ｘｉｋ，ｘ · ｉｋ Θ ∗ ） － ｄｉｋ（ｘｉｋ，ｘ · ｉｋ，ｔ） （９） 式中：ρ ＝ ［ρ１ ρ２ ］ Ｔ∈Ｒ ２×１ 。 针对多机器人编队设计的 ＦＩＳ 是一个 ４ 输入 ２ 输出系统，输入变量具有 ５ 个模糊子集，所以 ＦＩＳ 的 规则库有 ５４ 条模糊规则，即 Ｍ＝ ６２５。 ２．２ 滑模控制器的设计 定义滑模面 ｓｉｋ（ｔ） ＝ ｘ · ｅｉｋ ＋ λｘｅｉｋ （１０） 式中：ｓｉｋ（ｔ）＝ ［ｓｉｋ，１（ｔ） ｓｉｋ，２（ｔ）］ Ｔ∈Ｒ ２×１ ，ｘｅｉｋ ＝ ｘｉｋ －ｘｄｉｋ∈ Ｒ ２×１为跟踪误差向量，ｘｄｉｋ为期望轨迹向量，λ 为一个 ２×２ 的正定矩阵。 定义参考向量 δ（ｔ） ＝ ｘ · ｄｉｋ（ｔ） － λｘｅｉｋ（ｔ） （１１） 设计滑模控制律 ｕｋ ＝ － Ｇｉｋ［ｄ ＾ ｉｋ（ｘｉｋ，ｘ · ｉｋ Θ） － δ · ＋ κｓｉｋ ＋ ηｓｉｇｎ（ｓｉｋ）］ （１２） 式中：κ 和 η 均为 ２×２ 的对角矩阵，即 κ ＝ ｄｉａｇ（κ１ ， κ２ ），η＝ ｄｉａｇ（η１ ，η２ ），其中 κ１ 、κ２ 、η１ 和 η２ 为设计参 数；ｓｉｇｎ（ｓｉｋ）＝ ［ｓｉｇｎ（ｓｉｋ，１ ） ｓｉｇｎ（ ｓｉｋ，２ ）］ Ｔ ，ｓｉｇｎ（·）为 符号函数。 ２．３ 稳定性证明 定理 １ 对于机器人编队系统式（５），设计模糊 补偿器式（７）和滑模控制律式（１２）。 如定义参数自 适应律为 Θ · ｑ ＝ Γ －１ ｑ ｓｉｋ，ｑξ（ｘｉｋ，ｘ · ｉｋ） （１３） 式中：Γｑ＞０∈Ｒ １ ，κｑ＞０，ηｑ＞ ｜ ρｑ ｜ （ｑ ＝ １，２），那么多机 器人编队控制系统式（５）是渐近稳定的。 证明 选取李雅普诺夫函数： Ｖ（ｔ） ＝ １ ２ （ｓ Ｔ ｉｋ ｓｉｋ ＋ ∑ ２ ｑ ＝ １ Θ ～ Ｔ ｑΓｑΘ ～ ｑ） （１４） 式中：Θ ～ ｑ ＝ Θ ∗ ｑ －Θｑ，Θ ∗ ｑ 代表最优参数矩阵 Θ ∗ 的第 ｑ 列向量。 对式（１４）求一阶导可得 Ｖ · （ｔ） ＝ ｓ Ｔ ｉｋ ｓ · ｉｋ ＋ ∑ ２ ｑ ＝ １ Θ ～ Ｔ ｑΓｑΘ ～ ｑ （１５） 由式（１０）和式（１１）可知 ｓ · ｉｋ ＝ ｘ¨ ｉｋ － δ · （１６） 将式（３）和式（１６）依次代入式（１５）可得 第 ５ 期 钱殿伟：基于模糊滑模的多机器人系统编队控制 ·６４３·