Vol.20 No.4 刘艳永等：多元积累和控制图及其诊断理论 ·405 124,己知时的多元累积和控制图 Woodall&Ncube首先研究了多元累积和控制图u.设X,X,…是来自多元正态总体N, (仙，S)的一独立观测序列，当过程受控时均值向量4=4。，而当过程异常时4=4，分布的协 方差Σ保持不变且已知.为此做假设H:4=4H:u=4,他们将p个变元分别独立考虑，得 到如下累积和形式： S..max0,S.-+Z-K),L=min(o,L=+Z+k)i=1,2..p 其中，乙n=(m-4)10,K=6,/2,0≤S<h,当任何-个i出现S。>h,或L<-h时 控制图警告，认为过程出现异常.由于该方法将p个变量孤立起来考虑，而没有考虑它们之间 的关系，以致该累积和控制图的性态对方向很敏感，即对于偏移量相同的马氏距离，其ARL 值却相差很大，这是它的一个弊病， Healy应用序贯分析原理研究了多元累积和控制图，其形式及判异规则为： S.max(0S,-+a (X-)-K)>h 其中，a=(4,-4)S-/D,K=D/2为参考值，D=[(41-4)Σ-'(41-4为4与41 间的马氏距离，初始值0≤S<h,h为决策值.因为a(X-u)是一正态随机变量，所以按这 种方式得到的控制图实质是一元累积和控制图的形式， 从诊断角度来看，以，已知时的多元累积和控制图一旦告警，则可立即得出均值已发生偏 离至(，的结论，因此诊断简单明了，然而它们的弊病是在应用时，须事先给定4，这对于实际 问题来说，不易做到这一点. 1.3u,未知时的多元累积和控制图 为了找到更实用的多元累积和控制图，Crosier和Pignatiello&Runger分别研究了构造 和性能几乎相同的一种多元累积和控制图，Crosier称其为COT,Pignatiello&Runger称其 为MC2.设X,X,…是一来自多元正态总体N,(u,)的独立观测序列，4为日标均值，Σ为分 布的协方差且已知.则Hotelling的T2统计量为： T=(X-4)三-'(X。-4)n=1,2,,服从自由度为p的x分布 Crosier的累积和COT的形式为：Sn=max{0,S,-,+Tn-K?,初始值0≤S<H,参考值 K=Vp,决策值H由受控状态下的ARL决定，当S,>H时，挖制图显示异常.Pignatiello& Runger的累积和MC2的形式为：MC2,=max0,MC2.,+T-K3,初始值0≤MC2,<H,参 考值K=P+D/2,D为u与4，之间的马氏距离，决策值H由受控状态下的ARL决定，当 MC2>H时，控制图显示异常， 多元累积和控制图COT与MC2在构造过程中都借用了Hotelling的T统计量，将T,(或 T)的值与参考值K相比较后进行累积，从而将微弱的变化信息累积起来，可以很快地发现过 程的变动情况.它们的另一特点是ARL的大小依赖于4,4，与仅仅通过D来表现，即与4，具 有相同马氏距离的4，其ARL相同.与多元T控制图相比较，它们的ARL小得多，表1给出 了COT,MC2与T控制图的部分ARL数据，从中可以看出COT与MC2的性能几乎相同. 从应用的角度看，COT与MC2比Healy和Woodall与Ncube"的多元累积和控制图更 为实用，因为不需要事先知道有关均值的变化情况，只需要了解均值是否发生变化及其变化 量.然而，当COT与MC?图显示异常时，不能指出是哪个（哪些）变量所引起的，换言之，即不 能进行诊断，这就是本文所要解决的.出于COT与MC2控制图在构造与性状上基本相同，因 此我们以MC2为研究对象