电动力学习题解答参考 第二章静电场 外=90-E5R0sB+2+ER R R2 cose 又由边界条件-0 bo ATEO 内4E0R PoR<Ro Q EoRo q+ 4IEoR R2-COS8-E RcoSO, R> Ro 3.均匀介质球的中心置一点电荷Q,球的电容率为E,球外为真空,试用分离变数法求 空间电势,把结果与使用高斯定理所得结果比较 提示:空间各点的电势是点电荷Q的电势4xR与球面上的极化电荷所产生的电势的 叠加,后者满足拉普拉斯方程。 高斯法 在球外,R>R0,由高斯定理有:E509E·d=Q=Q+QP=Q,(对于整个导体球 而言,束缚电荷Qp=0) E 4TEOR 积分后得 Q +C(C是积分常数) 又由于q外|R+=0.C=0 外-4rER (R>R0) 在球内,R<R0,由介质中的高斯定理:∮Dd=Q Q1 积分后得到:内4mP(2(C2是积分常数)电动力学习题解答参考 第二章 静电场 - 4 - ϕ ϕ cosθ cosθ 2 3 0 0 0 0 0 R E R R b 外 E R + + 又由边界条件 Q 外 ∫ ∂ ∂ − s 0 ds r φ ε 0 0 4πε Q ∴b = 0, 0 0 0 R 4 R R Q ∴ −ϕ < πε ϕ 内 2 0 0 3 0 0 0 cos Rcos 4 R E R R R Q E R 外 + θ θ > πε ϕ 3 均匀介质球的中心置一点电荷Qf 球的电容率为ε 球外为真空 试用分离变数法求 空间电势 把结果与使用高斯定理所得结果比较 提示 空间各点的电势是点电荷Qf 的电势 R Q 4πε f 与球面上的极化电荷所产生的电势的 叠加 后者满足拉普拉斯方程 解 一. 高斯法 在球外 R > R0 ,由高斯定理有 Q Qf QP Qf E ⋅ ds = + = ∫ 总 r r 0 ε 对于整个导体球 而言 束缚电荷 = 0) QP 2 4 0R Q E f πε ∴ = r 积分后得 外 C C是积分常数 R Q .( 4 0 f + πε ϕ 又由于 →∞ = 0,∴C = 0 ϕ 外 R ( ) 4 0 0 R R R Qf ∴ = > πε ϕ 外 在球内 R < R0 ,由介质中的高斯定理 ∫ ⋅ = Q f D ds r r 又 2 4 , R Q D E E f πε = ε ∴ = r r r 积分后得到 内 f 2 .( 2是积分常数 4 C C R Q + πε ϕ