并且对任意的i (a-b) ck=a c B-b+2-b+)-(bb-b=+b2-bm+b)=0 b-b b-b 因此月,B2,…,B=2都属于方程组AX=0解空间,从而是方程组AX=0解空间的 组基 4.(1)设数域K上n级矩阵,对任意正整数m,求Cm C是什么? (2)用M(K)表示数域K上所有n级矩阵组成的集合,它对于矩阵的加法和数量乘法 成为K上的线性空间。数域K上n级矩阵A={na1a2 称为循环矩阵 用U表示K上所有n级循环矩阵组成的集合。 证明:U是Mn(K)的一个子空间,并求U的一个基和维数。 对任意的A= a2 及k∈K a∈K→k∈k,(i=1,2,…,n) an 因此kA=k b b, b b 对任意的A={aa ∈U,和B bn, b b2 bleU,有 h2b3b…h a1∈K,b∈K→a+b∈K, 因 此并且对任意的 i n = − 1,2,..., 2 ， 有 2 1 2 1 1 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 ( ) ( 1) ( ) 0 n n i n i n i n i i k ik i n i k b b b b b b b b a b c a b b b b b b b b b b b − − − − − = − − − − − = + + − + + = − − − −  因此 1 2 2 , ,...,   n− 都属于方程组 AX = 0 解空间，从而是方程组 AX = 0 解空间的 一组基 4．（1）设数域 K 上 n 级矩阵，对任意正整数 m ，求 m C [C 是什么？] （2）用 M (K) n 表示数域 K 上所有 n 级矩阵组成的集合，它对于矩阵的加法和数量乘法 成为 K 上的线性空间。数域 K 上 n 级矩阵 2 3 4 1 1 2 1 1 2 3 a a a a a a a a a a a a A n n n         − = 称为循环矩阵。 用 U 表示 K 上所有 n 级循环矩阵组成的集合。 证明： U 是 M (K) n 的一个子空间，并求 U 的一个基和维数。 证： 对任意的 1 2 3 1 2 1 2 3 4 1 n n n a a a a a a a a A U a a a a − =  ，以及 k K  ， 有 ,( 1,2,..., ) i i a K ka K i n    = 因此 1 2 3 1 2 3 1 2 1 1 2 1 2 3 4 1 2 3 4 1 n n n n n n a a a a ka ka ka ka a a a a ka ka ka ka kA k U a a a a ka ka ka ka − − = =  对任意的 1 2 3 1 2 1 2 3 4 1 n n n a a a a a a a a A U a a a a − =  ，和 1 2 3 1 2 1 2 3 4 1 n n n b b b b b b b b B U b b b b − =  ，有 , , i i i i a K b K a b K    +  因 此