b, a2+b, a3+b3 b, b bb…b b A+B 1 b, a,+b3 a4+b 4 b 可知U是Mn(K)的一个子空间。 cm-),其中c= ,j≠i 记C1= i=1,2,,n, 量组(C1C2屡、3…、eU,有A=4,即U所有向量都能用向 对任意的A=144 a2 性表出 k k2 k3 k, k k2 设一组数k∈K,=12…,m,满足∑kC=O,亦即 k, k4 可得k1=0,i=1,2,…,n,向量组(C1,C2…,Cn)线性无关 综上向量组(C1,C2…,Cn)是U的一组基 5.(1)设实数域R上n级矩阵H的(,j)元为 (n>1)。在实数域上n维线性空 间R中,对于a,B∈R",令f(a,B)=aHB。试问:∫是不是R”上的一个内积,写 出理由。 (2)设A是n级正定矩阵(n>1)a∈R",且a是非零列向量。令B=Aaa',求B 的最大特征值以及B的属于这个特征值的特征子空间的维数和一个基 (1)∫是R”上的一个内积,证明如下 容易验证∫是R"上的一个双线性函1 2 3 1 2 3 1 1 2 2 3 3 1 2 1 1 2 1 1 1 2 2 1 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 2 3 3 4 4 1 1 n n n n n n n n n n n n a a a a b b b b a b a b a b a b a a a a b b b b a b a b a b a b A B U a a a a b b b b a b a b a b a b − − − − + + + + + + + + + = + =  + + + + 可知 U 是 M (K) n 的一个子空间。 记 1 2 3 1 2 ( 1) 2 3 4 1 i i i in in i i i n i i i i i c c c c c c c c C c c c c − = ，其中 0, 1, ij j i c j i   =   = ，i n =1, 2,..., ， 对任意的 1 2 3 1 2 1 2 3 4 1 n n n a a a a a a a a A U a a a a − =  ，有 1 n k k k A a C = =  ，即 U 所有向量都能用向 量组 1 2 ( , ,..., ) C C Cn 线性表出 设一组数 , 1,2,..., i k K i n  = ，满足 1 n i i n i k C O =  = ，亦即 1 2 3 1 2 1 2 3 4 1 n n n n k k k k k k k k O k k k k − = 可得 0, 1,2,..., i k i n = = ，向量组 1 2 ( , ,..., ) C C Cn 线性无关 综上向量组 1 2 ( , ,..., ) C C Cn 是 U 的一组基 5．（1）设实数域 R 上 n 级矩阵 H 的 (i, j) 元为 1 1 i + j − （ n 1 ）。在实数域上 n 维线性空 间 n R 中，对于 n ,  R ，令 f (, ) =H 。试问： f 是不是 n R 上的一个内积，写 出理由。 （2）设 A 是 n 级正定矩阵（ n 1 ） n   R ，且  是非零列向量。令 B = A ，求 B 的最大特征值以及 B 的属于这个特征值的特征子空间的维数和一个基 解： (1) f 是 n R 上的一个内积，证明如下： 容易验证 f 是 n R 上的一个双线性函数