对R中任意的非零向量a f(a, a)=aHa= 令g(x)=∑ax,是R上的一个多项式函数,有0≤g2(x)=∑∑aax2 i=1j= 可得0g(x)d=∑∑ax=S∑1,=(a,a) ==l+J ∫g2(xx=0,由于g2(x)在1上连续,则必有g2(x)=0,g(x)=0 则a=0=12…,n,即a=0,与a是R中非零向量矛盾,所以g(x>0, f(a,a)>0 所以∫是Rn上的一个内积 (2)由于A正定,a≠0,可得λ=aAa>0,Aax≠0,rmB= ranka a=1, 由 rankB=1知方程组BX=0解空间W的维数为n-1,W同时也是B的属于 0特征值的特征子空间 由A>0,Aa≠0和BAa= Aac da=(aAa)Ax=AAa,知λ是B的特征值, Aa是B的属于特征值λ的特征向量 设B的属于这个特征值的特征子空间为W,由λ≠0,W∩W=0,所以 dimW, +dimWo=dim(W+Wo)sn 即dmW2≤1,而Aa≠0,Aa∈W,dimW2=1,W2的一组基为Aa dimH=1→dimW2+dmW=n,因此B没有其他特征值,元>0是B的唯 非零特征值,也是B最大的特征向量 6.设A是数域R上n维线性空间V上的一个线性变换,用I表示V上的恒等变换,证明 A=lerank(I-A)+rank(I+A+A) 证明对 n R 中任意的非零向量 1 2 n a a a        =           ， 1 1 ( , ) 1 n n i j i j a a f H i j     = = = =  + −   令 1 1 ( ) n i i i g x a x − = =  ，是 R 上的一个多项式函数，有 2 2 1 1 0 ( ) n n i j i j i j g x a a x + − = =  = 可得 1 1 2 2 0 0 1 1 1 1 0 ( ) ( , ) 1 n n n n i j i j i j i j i j a a g x dx a a x dx f i j   + − = = = =  = = = + −     若 1 2 0 g x dx ( ) 0 =  ，由于 2 g x( ) 在 [0 1] ， 上连续，则必有 2 g x( ) 0  ， g x( ) 0  则 0, 1,2,..., i a i n = = ，即  = 0 ，与  是 n R 中非零向量矛盾。所以 1 2 0 g x dx ( ) 0   ， f ( , ) 0    所以 f 是 n R 上的一个内积 (2) 由于 A 正定，   0 ，可得 '    =  A 0 ， A  0， ' rankB rank = =   1， 由 rankB =1 知方程组 BX = 0 解空间 W0 的维数为 n−1，W0 同时也是 B 的属于 0 特征值的特征子空间 由   0，A  0 和 ' ' BA A A A A A         = = = ( ) ，知  是 B 的特征值， A 是 B 的属于特征值  的特征向量 设 B 的属于这个特征值的特征子空间为 W ，由   0 ， 0 W W 0   = ，所以 0 0 dim dim dim( ) W W W W n   + = +  即 dim 1 W  ，而 A A W 0,     ，dim 1 W = ，W 的一组基为 A 0 dim 1 dim dim W W W n   =  + = ，因此 B 没有其他特征值，   0 是 B 的唯一 非零特征值，也是 B 最大的特征向量 6．设 A 是数域 R 上 n 维线性空间 V 上的一个线性变换，用 I 表示 V 上的恒等变换，证明： =  rank( − ) + rank( + + ) = n 3 2 A I I A I A A 证明：