高等数学教案 第十一章曲线积分与曲面积分 [2dydz rr2dxdy crdzdx cdxdy-o xcos2x cos2y cos2 z 1=xd=了 dxdy =4πtanl zcos'z1-x2-y cos1-x2-y2 三、两类曲面积分之间的联系 设积分曲面Σ由方程2=z(x)给出的，Σ在xOy面上的投影区域为D,函数2=z(x, 在D上具有一阶连续偏导数，被积函数(x5)在Σ上连续.如果Σ取上侧，则有 Rx,yzd=∬Rxy2x,kd Do 另一方面，因上述有向曲面Σ的法向量的方向余弦为 -2x -Zy cosa= ，cosB= V1+2+ 1+2+，cosy V1+2+z 故由对面积的曲面积分计算公式有 ..)cos=jxy在hd D 由此可见，有∬R(x,y2td=jR,ycos7aS 如果Σ取下侧，则有小R(xy2d=-J小RLx,y,z(c,d.这时cosy= 1+z+23 因此∬R6x,y2)dkd=R(xyz)cosS, 类似地j∬Px,yzdt=j∬P(x,y,2 cosadS JO(.y.dzd=∬Px,y.)cos/d. 于是有IPdb+Qkdh+Rhd=(Pcos@+-QcosB+-Rcosy)dis, 其中cosa必、cosR、cosy是曲面Σ上点(x,马2)处法向量的方向余弦. 两类曲面积分之间的联系也可写成如下向量的形式： s=4ns,1= 其中4(PQ0,n=(cosa,cosB,cos》是曲面∑上点(x乃2)处的单位法向量， dS-ndS(dydz,dzdx,dxdy),称为有向曲面元，A,为向量A在向量n上的投影