高等数学教案 第十一章曲线积分与曲面积分 说明：如果积分曲面∑取下侧，则 儿R(xy2)dxdy=-八Rx,yzx,)dkdy: 若∑：x=x(y,z),(yz)∈D,则有 儿P(x,y)dd证=±儿P(x,2),y.z)dydz前正后负 例1.计算曲面积分八r2山d+y2dkdk+z2d,其中Σ是长方体Q的整个表面的 外侧，2=(x乃z)|0≤a,0≤心b0≤z公c). 解：把2的上下面分别记为∑和∑；前后面分别记为∑和Σ；左右面分别记为和Σ. ∑：2=c(0≤a,0sb)的上侧；∑：Z=0(0sa,0ssb)的下侧； ∑s:=a(0≤sb,0szc）的前侧；∑：=0(0ssb,0≤zc)的后侧； Σ：=0(0<x≤a0≤z≤c）的左侧.6：=b(0≤x≤a0≤z≤c)的右侧； 除Σ、Σ外，其余四片曲面在yOz面上的投影为零，因此 ∬r4b=hb+∬rdd=r2k-odd=de 类似川y2dkd=bac,川z2d=c2ab于是所求积分为(a+b)abc. 例2计算川zd山，其中Σ是++i1外侧在20,20的部分. 解 把有向曲面Σ分成以下两部分：公，：z=V1-x2-y2(x20,20)的上侧，2： z=-V1-x2-y2(20,20)的下侧. 和∑：在xOy面上的投影区域都是D:X+≤1(20,20) 于是小ad=小ad+ad =小1-r2-严d-j(--2-ydk -2foy-x-ydrdy -2 dofr"sin0cos0-rErdr- 例3.设S是球面x2+y2+z2=1的外侧，计算 I-f2dydzdddxdy xcos2 x cos2y zcos2z 解：利用轮换对称性，有 6