高等数学教案 第十一章曲线积分与曲面积分 二、对坐标的曲面积分的计算法 将曲面积分化为二重积分：设积分曲面Σ由方程=z(x)给出的，∑在xOy面上的投 影区域为D,，函数=z(xy)在D上具有一阶连续偏导数，被积函数(xy)在Σ上连 续，则有 Rxy,zdd=±x,y2x,ykd, 其中当Σ取上侧时，积分前取“+”；当Σ取下侧时，积分前取“-”. 这是因为 R.y.dsdy-im(S) 九0写 当∑取上侧时，cos>0所以（△S)w=(△o).又(5，，5）是∑上的一点，故5=z(5,n）. 从而2R5,54So=2R5,2(5aow i=l 令1→0取极限，就得到 R(x,y,z)dxdy=RIx,y,z(,y)xdy D 同理当Σ取下侧时，有 [[R(x.y,z)dxdy=-[[RIx.y,z(x.y)ldxdy D 因为当卫取上侧时，c0s>0,(△S》=(△o)m.当(5，，）e∑时，=z(5,n).从而 有 [[R(x.y,2)dxdy=lim >R()(AS )y -im)Rx.y.(x)dy D 同理当Σ取下侧时，有 [[R(x.y.z)dxdy=-[[RIx.y,z(x,y)xdy. 这是因为n=(cosa,cosB,cos)=±- 1 1+2+z 5{-2,-2,1}, 1 cosy= V1+2+2 dS=V1+z+z子y, j∬R(x,y.)dvdy=∬Rxy2)cosS=±∬x,yzc,dw, D 如果∑由=x(gz)给出，则有 P(x,y,z)dyd=Px(y,z).y,zldydz. 如果Σ由=y(么给出，则有(x,y,z)tdk=±川gx,(2,x,z水 5