35 Cauchy积分公式 有界区域的 Cauchy积分公式设f()是区域石中的单值解析函数,的边界C是分段 光滑曲线,a为G内一点,则 )=h{= 其中积分路线沿C的正向 图39有界区域的 Cauchy积分公式 证在G内作圆|z-a<r(见图39,保持圆周|z-a=r在G内),则根据复连通区域的 Cauchy定理,有 f(a f(2)d2 此结果应与r的大小无关,故可令r→0.因为 f(a), 由上节的引理3.1,就证得 -dz= f(a) 无界区域的 Cauchy积分公式 对于无界区域,需要假设f(x)在简单闭合围道C上及C外(包括无穷远点)单值解析.类似 地,现在计算 1了f(2)d2 其中a为C外一点,积分路线C的走向是顺时针方向,即绕无穷远点的正向,如图310 图310无界区域的 Cauchy积分公￾✁✂ ✄ ☎ ✆ ✝ ✞ 11 ✟ §3.5 Cauchy ✒✓➟➠ ➡➢➏➐➽ Cauchy ❈❉➤➥ ✥ f(z) ✘➈➉ G ❭✢➪ ❈➹➘★✙✧ G ✢Ð❝ C ✘✗✲ ◗❘ ✦✣✧ a ✱ G ✖✴ ✳✧❆ f(a) = 1 2π i I C f(z) z − a dz, ❬ ❭✖✗s✣❉ C ✢➦ ❵✤ ❋ 3.9 ➧➨➸➺Ñ Cauchy ➩➫➭➯ Ô ✩ G ✖ ✵ ➎ |z − a| < r(➱✃ 3.9 ✧➲➳ ➎➵ |z − a| = r ✩ G ✖) ✧❆✟✠✔❙➶➈➉✢ Cauchy ✫➀✧✪ I C f(z) z − a dz = I |z−a|=r f(z) z − a dz, ✼❤P à ❁ r ✢❵➸❄❅✧✍ ❰ ❋ r → 0 ✤◆✱ limz→a (z − a) f(z) z − a = f(a), ⑦✜❢ ✢ ➊ ➚ 3.1 ✧❱Û✺ 1 2π i I C f(z) z − a dz = f(a). ❄❝➈➉✢ Cauchy ✖✗âã ✉❥❄❝➈➉✧❥✎➺✥ f(z) ✩ Õ ➪ ➷▼ ➬➮ C ✜➇ C ➻ (✔➼❄➽➾✳ ) ➪ ❈➹➘✤➚➪ ➄ ✧➶ ✩ ❫❴ 1 2π i I C f(z) z − a dz, ❬ ❭ a ✱ C ➻✴ ✳✧✖✗s✣ C ✢⑨ ❵✘➹ ✻❶✡ ❵✧♦➘❄➽➾✳✢➦ ❵✧❖✃ 3.10 ✤ ❋ 3.10 ➴➨➸➺Ñ Cauchy ➩➫➭➯