5六章定积分 (2)研究函数F(x)=|f(1)a是否也是周期函数? (1)f(x)dx=If(x)dx+If(x)cx+If(x)dx 做变换:x=t+T, f(x)d=」f(t+n)=」f(nlt a+r ∫/(x)=丁(x)+(x)+∫f(xh-fx)d (2)F(x)=「f()d是否是周期函数,要看 x,F(x+)-F(x)=0 是否成立。而 F(x+7)-F(x)=j/(0÷JMt 结论是:若被积函数f(x)是T周期函数,则F(x)=∫ 是周期函数的充要条件是:f()d=0。 若∫()=/≠0,则F(x)=周期函数+线性函数 因为d=1,这样函数g(x)=f(x)-是周期函数,且有 g(x)x=f(xddx--dx=0 则G(x)=g()是周期函数。这样 第六章定积分第六章 定积分 第六章 定积分 (2) 研究函数  = x F x f t dt 0 ( ) ( ) 是否也是周期函数？ 证明： (1)     + + = + + 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) a T a T T a T a f x dx f x dx f x dx f x dx 做变换： x = t +T ,    = + = a+T a a T f x dx f t T dt f t dt 0 0 ( ) ( ) ( ) ;     = − + + a+T a T a a f x dx f x dx f x dx f x dx 0 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) =  T f x dx 0 ( ) (2)  = x F x f t dt 0 ( ) ( ) 是否是周期函数，要看 x, F(x +T)− F(x) = 0 是否成立。而 ( )   + − = = x+T T x F x T F x f t dt f t dt 0 ( ) ( ) ( ) . 结论是： 若被积函数 f (x) 是 T 周期函数，则  = x F x f t dt 0 ( ) ( ) 是周期函数的充要条件是： ( ) 0 0 =  T f t dt 。 若 ( ) 0 0 =   f t dt I T , 则 F(x) =周期函数 + 线性函数. 因为 dt I T I T =  0 , 这样函数 T I g(x) = f (x) − 是周期函数，且有 ( ) ( ) 0 0 0 0 = − =    dx T I g x dx f x dx T T T ; 则  = x G x g t dt 0 ( ) ( ) 是周期函数。这样：