5六章定积分 若(x)是ad上的可积的偶函数→∫八x=2(x 例2,证明:若∫∈C[O,1,则 o fr(sin xdr=r(cos xdo (2)jx/mxx=∫/(smx 证:令x=丌-1,d=-dt, ∫x/mnx=(x-)/(sm-m) =「πf(sn)t-「1/(sn)t →2「x/(smx)d=「π/(imt)dt xsIn dx πrd(cosx dx dh 1+cosx I+cos-x X=其 telcos x) 例3:若∫∈C[A,B],[a,b]c[A,B求极限 f(x+h)-f(x) 〔(+)-/( 解:lim f(x+h)-f(x) dx=lim h→0 (x+b()2)1(广0 lim((+h)-f(a+h)=f(b)-f(a 例4,若函数∫(x)是以T为周期的可积周期函数,证明: (1)Va, f(x)ax= f(x)dx 第六章定积分第六章 定积分 第六章 定积分 若 f (x) 是 − a,a 上的可积的偶函数 ( ) ( )    = − a a a f x dx f x dx 0 2 例 2, 证明 : 若 f C[0,1], 则 (1) ( ) ( )   = 2 0 2 0 sin cos   f x dx f x dx ; (2) ( ) ( )      = 0 0 sin 2 xf sin x dx f x dx 证：令 x =  − t , dx = −dt , ( ) ( ) ( )( )     =  − − 0 0 xf sin x dx t f sin t dt = = ( ) ( )      − 0 0 f sin t dt t f sin t dt  ( ) ( )     =  0 0 2 x f sin x dx f sin t dt . 求: ( )       +  = − +  = + 0 2 0 2 0 2 1 cos cos 1 cos 2 sin 1 cos 2 sin x d x dx x x dx x x x = ( ) 4 cos 2 2 0  =  − = = x x arctg x 例 3: 若 f C[A, B], [a,b]  [A, B] 求极限  + − → b h a dx h f (x h) f (x) lim 0 . 解：  + − → b h a dx h f (x h) f (x) lim 0 = ( ) ( ) h h b a h h f x h f x dx         + −  → ( ) ( ) lim 0 = ( )        + − →  h b h a lim f (x h) f (x) dx 0 = ( )         + → + h b h h a h lim f (t) dt 0 = lim ( ( ) ( )) ( ) ( ) 0 f b h f a h f b f a h + − + = − → 例 4, 若函数 f (x) 是以 T 为周期的可积周期函数, 证明： (1) a ,   = a+T T a f x dx f x dx 0 ( ) ( ) ;