·472· 智能系统学报 第11卷 [y],但z[x],由z任[x]可知，至少存在 “低”，统计数据如表1所示。 一个aeA,使得f(x,a)>fy,a)。因为ze 表1风险投资的区间值模糊序决策信息系统 [y],所以f(y,a)≤fz,a)。于是得到f(x,a)> Table 1 Interval-valued fuzzy ordered decision in- fy,a),因此a∈Disn(x,y）,即有A0Dis(x, formATion systems y)≠0。 U 0 a 2)如果[x]∩[y]=☑，必然至少存在 [0.1.0.3][0.2,0.3] [0.1,0.4] 3 一个a∈A使得f(x,a)>f(y,a),即An 5 [0.3.0.5] 「0.2.0.61 [0.2.0.8] 2 Disr(x,y)≠O。否则，若对于所有的aEA [0.1,0.5][0.1,0.4][0.2,0.7] 1 都有fx,a)≤f(y,a),则y∈[x],与 [0.2.0.7][0.1.0.5][0.3.0.7] 2 [x]n[y]=☑矛盾。 [0.3,0.6][0.3,0.7][0.2,0.9] 3 3)如果[x]n[y]C[x]且[x]n [0.3.0.9][0.2,0.7][0.3.0.8] [y]C[y]京，证明与(1)相同。因为此时也至少 由表1可得到 存在一个z∈[y]云，但是z生[x]。由此必要性 [x1]={x1,x2,x5,x6; 即证。 [2]={x2x5x6; 充分性。如果对所有的(x,y)eDis.有An [x]2=x2,x3x4x5x6: Disn(x,y）≠，则必定存在aeA并且有ae [x4]={x4,x6; Disn(x,y）,故有fx,a)>y,a）,所以y [x]={x: [x]。因此[x]含∩[y]含≠[y]B。另外，由 [x6]={x6f: (x,y）EDis,得r(x)δr(y),于是 [x]=[x]={1x; δAT(x)∩δr(y)≠δA(x)。当8AT(x)∩8AT(y)≠ [x2]=[x4]={x1,x2,4,x; δr(x)时有[x]n[y]≠[y]。由定理2知A 是部分一致协调集，充分性得证。 [x3]=[x6]={x1,2,x34x5,x6 定义8设户=(U,ATU{d),F,G)为区间 显然，R?￠R。因此该区间值模糊序决策信 值模糊决策序信息系统，部分一致可辨识矩阵为 息系统是不协调的。 Disr。称 对于表1给出的关于风险投资的区间值模糊序 MAr= 决策信息系统，求部分一致约简。 情形1利用定义6求解。 A{V{ala∈Dis°ar(x,x)}IVx:,∈U} 在该系统中记 为该区间值模糊决策序信息系统的部分一致可辨识 公式。 D1=[x]=[x] 定理4设☑为区间值模糊决策序信息系统， D2=[x2]i=[x4] 部分一致可辨识公式M,的极小析取范式为 D3=[x3]=[x6] 由部分一致函数δ，(x)定义可得 Mmin=(八a,),若记B.={a,s=1,2,…, k=1s=1 8,(x1）=6(2）=8(x3)= 9},则{B,k=1,2,…,p}是所有部分一致约简构 6(x4)=δ(x6)={D3} 成的集合。 8(x5)={D1,D2,D3} 当取B={a2,a3}时，容易验证对于HxeU 4区间值模糊决策序信息系统的部分 有：[x]=[x]B,因此有δ(x)=64(x)。故B= 一致约简方法 {a2,a3}是部分一致协调集。 当取B'={a1,a3}有 实例分析设户=(U,ATU{d),F,G)为区 间值模糊序决策信息系统，U={x1,x2,…,x6}为论 [x1]={x1,x2,x3,x4,x5,x6} 域，代表6个投资对象，A={a1,a2,a3},分别代表 [x2]2={x2x5,x6} 着市场风险、技术风险、管理风险，{为决策属 [x3]g={x2,x3,x5,x6 性，表示风险，其中3表示“高”，2表示“中”，1表示 [x]2={x4,6}[ｙ] ≥ Ａ ，但 ｚ ∉ [ｘ] ≥ Ａ ，由 ｚ ∉ [ｘ] ≥ Ａ 可知，至少存在 一个 ａ ∈ Ａ ，使得 ｆ（ｘ，ａ） ＞ ｆ（ｙ，ａ） 。 因为 ｚ ∈ ［ｙ］ ≥ Ａ ，所以 ｆ（ｙ，ａ） ≤ ｆ（ｚ，ａ） 。 于是得到 ｆ（ｘ，ａ） ＞ ｆ（ｙ，ａ） ，因此 ａ ∈ Ｄｉｓ δ ≤ＡＴ （ｘ，ｙ） ，即有 Ａ ∩ Ｄｉｓ δ ≤ＡＴ （ｘ， ｙ） ≠ ⌀ 。 ２）如果 [ｘ ] ≥ Ａ ∩ [ｙ ] ≥ Ａ ＝ ⌀ ，必然至少存在 一 个 ａ ∈ Ａ 使 得 ｆ（ ｘ，ａ） ＞ ｆ（ ｙ，ａ） ， 即 Ａ ∩ Ｄｉｓ δ ≤ＡＴ （ ｘ，ｙ） ≠ ⌀ 。 否则，若对于所有的 ａ ∈ Ａ 都 有 ｆ（ ｘ，ａ） ≤ ｆ（ ｙ，ａ） ， 则 ｙ ∈ ［ ｘ］ ≥ Ａ ， 与 [ｘ ] ≥ Ａ ∩ [ｙ ] ≥ Ａ ＝ ⌀ 矛盾。 ３） 如果 [ｘ] ≥ Ａ ∩ [ｙ] ≥ Ａ ⊂ [ｘ] ≥ Ａ 且 [ｘ] ≥ Ａ ∩ [ｙ] ≥ Ａ ⊂ [ｙ] ≥ Ａ ，证明与（１）相同。 因为此时也至少 存在一个 ｚ ∈ [ｙ] ≥ Ａ ，但是 ｚ ∉ [ｘ] ≥ Ａ 。 由此必要性 即证。 充分性。 如果对所有的 （ｘ，ｙ） ∈ Ｄｉｓ δ ≥ＡＴ 有 Ａ ∩ Ｄｉｓ δ ≥ＡＴ （ｘ，ｙ） ≠ ⌀ ，则必定存在 ａ ∈ Ａ 并且有 ａ ∈ Ｄｉｓ δ ≥ＡＴ （ｘ，ｙ） ，故 有 ｆ（ｘ，ａ） ＞ ｆ（ｙ，ａ） ， 所 以 ｙ ∉ [ｘ] ≥ Ａ 。 因此 [ｘ] ≥ Ｂ ∩ [ｙ] ≥ Ｂ ≠ [ｙ] ≥ Ｂ 。 另外，由 （ｘ，ｙ） ∈ Ｄｉｓ δ ≥ＡＴ ， 得 δ ＡＴ（ｘ） ⊃ δ ＡＴ（ｙ） ， 于 是 δ ＡＴ（ｘ） ∩δ ＡＴ（ｙ） ≠ δ ＡＴ（ｘ） 。 当 δ ＡＴ（ｘ） ∩ δ ＡＴ（ｙ） ≠ δ ＡＴ（ｘ） 时有 ［ｘ］ ≥ Ａ ∩ ［ｙ］ ≥ Ａ ≠ ［ｙ］ ≥ Ａ 。 由定理 ２ 知 Ａ 是部分一致协调集，充分性得证。 定义 ８ 设 Ｉ ≥ ＝ (Ｕ，ＡＴ ∪ {ｄ} ，Ｆ，Ｇ) 为区间 值模糊决策序信息系统，部分一致可辨识矩阵为 Ｄｉｓ δ ≥ＡＴ 。 称 Ｍ δ ≥ＡＴ ＝ ∧ ｛∨ ｛ａ ｜ ａ ∈ Ｄｉｓ δ ≥ＡＴ（ｘｉ，ｘｊ）｝ ｜ ∀ｘｉ，ｘｊ ∈ Ｕ｝ 为该区间值模糊决策序信息系统的部分一致可辨识 公式。 定理 ４ 设 ⌀ 为区间值模糊决策序信息系统， 部分一 致 可 辨 识 公 式 Ｍ δ ≥ＡＴ 的 极 小 析 取 范 式 为 Ｍ δ ≥ ｍｉｎ ＝ ∨ ｐ ｋ ＝ １ （ ∧ ｑｋ ｓ ＝ １ ａｓ） ，若记 Ｂｋ ＝ ｛ａｓ，ｓ ＝ １，２，…， ｑｋ｝， 则 ｛Ｂｋ，ｋ ＝ １，２，…，ｐ｝ 是所有部分一致约简构 成的集合。 ４ 区间值模糊决策序信息系统的部分 一致约简方法 实例分析 设 Ｉ ≥ ＝ (Ｕ，ＡＴ ∪ {ｄ} ，Ｆ，Ｇ) 为区 间值模糊序决策信息系统， Ｕ ＝ ｛ｘ１ ，ｘ２ ，…，ｘ６ ｝ 为论 域，代表 ６ 个投资对象， Ａ ＝ ｛ａ１ ，ａ２ ，ａ３ ｝ ，分别代表 着市场风险、技术风险、管理风险， {ｄ} 为决策属 性，表示风险，其中 ３ 表示“高”，２ 表示“中”，１ 表示 “低”，统计数据如表 １ 所示。 表 １ 风险投资的区间值模糊序决策信息系统 Ｔａｂｌｅ １ Ｉｎｔｅｒｖａｌ⁃ｖａｌｕｅｄ ｆｕｚｚｙ ｏｒｄｅｒｅｄ ｄｅｃｉｓｉｏｎ ｉｎ⁃ ｆｏｒｍＡＴｉｏｎ ｓｙｓｔｅｍｓ Ｕ ａ１ ａ２ ａ３ ｄ ｘ１ ［０．１，０．３］ ［０．２，０．３］ ［０．１，０．４］ ３ ｘ２ ［０．３，０．５］ ［０．２，０．６］ ［０．２，０．８］ ２ ｘ３ ［０．１，０．５］ ［０．１，０．４］ ［０．２，０．７］ １ ｘ４ ［０．２，０．７］ ［０．１，０．５］ ［０．３，０．７］ ２ ｘ５ ［０．３，０．６］ ［０．３，０．７］ ［０．２，０．９］ ３ ｘ６ ［０．３，０．９］ ［０．２，０．７］ ［０．３，０．８］ １ 由表 １ 可得到 ［ｘ１ ］ ≥ Ａ ＝ ｛ｘ１ ，ｘ２ ，ｘ５ ，ｘ６ ｝； ［ｘ２ ］ ≥ Ａ ＝ ｛ｘ２ ，ｘ５ ，ｘ６ ｝； ［ｘ３ ］ ≥ Ａ ＝ ｛ｘ２ ，ｘ３ ，ｘ４ ，ｘ５ ，ｘ６ ｝； ［ｘ４ ］ ≥ Ａ ＝ ｛ｘ４ ，ｘ６ ｝； ［ｘ５ ］ ≥ Ａ ＝ ｛ｘ５ ｝； ［ｘ６ ］ ≥ Ａ ＝ ｛ｘ６ ｝； ［ｘ１ ］ ≥ ｄ ＝ ［ｘ５ ］ ≥ ｄ ＝ ｛ｘ１ ，ｘ５ ｝； ［ｘ２ ］ ≥ ｄ ＝ ［ｘ４ ］ ≥ ｄ ＝ ｛ｘ１ ，ｘ２ ，ｘ４ ，ｘ５ ｝； ［ｘ３ ］ ≥ ｄ ＝ ［ｘ６ ］ ≥ ｄ ＝ ｛ｘ１ ，ｘ２ ，ｘ３ ，ｘ４ ，ｘ５ ，ｘ６ ｝ 显然， Ｒ ≥ Ａ ⊄ Ｒ ≥ ｄ 。 因此该区间值模糊序决策信 息系统是不协调的。 对于表 １ 给出的关于风险投资的区间值模糊序 决策信息系统，求部分一致约简。 情形 １ 利用定义 ６ 求解。 在该系统中记 Ｄ１ ＝ ［ｘ１ ］ ≥ ｄ ＝ ［ｘ５ ］ ≥ ｄ Ｄ２ ＝ ［ｘ２ ］ ≥ ｄ ＝ ［ｘ４ ］ ≥ ｄ Ｄ３ ＝ ［ｘ３ ］ ≥ ｄ ＝ ［ｘ６ ］ ≥ ｄ 由部分一致函数 δＡ（ｘ） 定义可得 δＡ（ｘ１ ） ＝ δＡ（ｘ２ ） ＝ δＡ（ｘ３ ） ＝ δＡ（ｘ４ ） ＝ δＡ（ｘ６ ） ＝ ｛Ｄ３ ｝ δＡ（ｘ５ ） ＝ ｛Ｄ１ ，Ｄ２ ，Ｄ３ ｝ 当取 Ｂ ＝ ｛ａ２ ，ａ３ ｝ 时，容易验证对于 ∀ｘ ∈ Ｕ 有： ［ｘ］ ≥ Ａ ＝ ［ｘ］ ≥ Ｂ ，因此有 δＢ（ｘ） ＝ δＡ（ｘ） 。 故 Ｂ ＝ ｛ａ２ ，ａ３ ｝ 是部分一致协调集。 当取 Ｂ′ ＝ ｛ａ１ ，ａ３ ｝ 有 ［ｘ１ ］ ≥ Ｂ ′ ＝ ｛ｘ１ ，ｘ２ ，ｘ３ ，ｘ４ ，ｘ５ ，ｘ６ ｝ ［ｘ２ ］ ≥ Ｂ ′ ＝ ｛ｘ２ ，ｘ５ ，ｘ６ ｝ ［ｘ３ ］ ≥ Ｂ ′ ＝ ｛ｘ２ ，ｘ３ ，ｘ５ ，ｘ６ ｝ ［ｘ４ ］ ≥ Ｂ ′ ＝ ｛ｘ４ ，ｘ６ ｝ ·４７２· 智 能 系 统 学 报 第 １１ 卷