第4期 史德容，等：区间值模糊决策序信息系统的部分一致约简 471. 系统中的部分一致函数的定义方式。 [y],则8ar(x)∩8r(y)=δAr(x),即[y]S 定义4设户=(U,ATU{d},F,G)为区间 [x]成立推出δr(x)δAr(y)成立。 值模糊单决策序信息系统。对于任意的A二AT, 任取Dee8Ar(x),需证[x]CDk。不妨设 x∈U,记 y∈[x],则有[y]C[x],可得8ar(x)S U/R={[x]Ix∈U 6ar(y)。因此D∈δAr(y),即[y]CD,于是 U/R={D1,D2,…,D,} y∈D:,由y的任意性可得[x]CD从而 δ，(x)={DI[x]D,x∈U Or(x)CoA(x)成立，充分性得证。 我们称δ，(x)为论域U上关于准则集A的部分一致 函数。 3区间值模糊决策序信息系统的部分 定义5s设a=(a1,a2,…,an)和B=(b1,b2, 一致约简方法 …,bn)为两个n维向量，若a:=b.(i=1,2,…,n)称 向量x等于向量B,记作x=B;若a:≤b.(i=1,2, 第3节中给出了不协调的区间值模糊决策序信 …,n)称向量x小于等于向量B,记作x≤B;否 息系统的部分一致协调集，这是判断准则集是否协 则如果存在某个io,(i。∈{1,2，…，n}),使得a。> 调的理论所在，这节介绍部分一致约简的方法，先给 bo,称向量a不小于等于向量B,记作&丈B。 出辨识属性集以及辨识属性矩阵的相关概念。 显然由以上定义可立即得到下面命题。 定义7设I产=(U,ATU{d),F,G)为区间 定理1设P=(U,ATU{d),F,G)为区间值 值模糊序信息系统，记 模糊决策序信息系统。对于任意的A二AT, Dr=()1 8xr()C8xr() 1)对Hx∈U,当BCA时，有8B(x)C8(x): Dis'AT((x:,x)={a∈ATI(x:,x)∈DAr}= 2)对Hx,y∈U,当[y]C[x]时，有 {a∈AT1a(x:)>a(x) 84(x)C6,(y)。 或a(x)>a(x)} 定义6设≥=(U,ATU{d},F,G)为区间 值模糊决策序信息系统。A二AT,对于任意的x∈ 称Disr(x:,x)为IP中x,x,关于区间值模糊优势 U,如果有6，(x)=8r(x),则称A是户中关于区 关系R元的部分一致可辨识属性集。记 间值模糊优势关系R的部分一致协调集，如果A Disar=(Dissar(x,)) 的任何真子集均不是部分一致协调集，则称A是户 称DisA灯为I户中x:,x关于区间值模糊优势关 中关于区间值模糊优势关系R的部分一致约简。 系R的部分一致可辨识矩阵。特别地，对任意x:, 下面具体给出区间值模糊决策序信息系统的部 ,∈U有 分一致约简的判定定理。 Dis2Ar(x:,x:)=☑ 定理2设P=(U,ATU{d),F,G)为区间 定理3设产=(U,ATU{d},F,G)为区间 值模糊决策序信息系统，A≤AT,则A是部分一致 值模糊决策序信息系统，A二AT,A是部分一致协 协调集当且仅当对Hx,y∈U,若δAn(x)∩ 调集当且仅当对任意(x,y)∈Dr都有A∩ 8,(y)≠δAn(y),则[x]∩[y]≠[y]。 Disr(x,y)≠⑦。 证明必要性。反证法。假设当6r(x)∩ 证明必要性。对任意(x,y)∈D心r,有 δAr(y)≠δA(x)时有[x]n[y]≠[y]不成 OAr(y）COAr(x),则OAr(x)∩OAr（y)≠r(x)。 立，此时[x]n[y]=[y]则有[y]c[x], 因A是部分一致协调集，由定理2得[x]∩[y]≠ 由定理1可知8，(x)C8,(y)。由A是部分一致协 [y],因此[x]与[y]的关系有3种情况： 调集得8Ar(x)C8Ar(y),即有6Ar(x)n8Ar(y)= 1)[x]C [y]; δr(x),矛盾。必要性成立。 2)1=(U,AT U{d),F,G) 充分性。由定理1知6，(x)二8T(x),只证 3)[x]n [y]C [x][]n [y]C 8r(x)Cδ(x)即可。对Hx,y∈U,如果 [y]a。 8ar(x)∩δr(y)≠δr(x),则[x]∩[y]≠ 下证3种情祝下均有A∩Dis(x,y）≠成立。 [y]。因此对Hx,yeU,若[x]n[y]= 1)如果[x]C[y]云则至少存在一个z∈系统中的部分一致函数的定义方式。 定义 ４ 设 Ｉ ≥ ＝ （Ｕ，ＡＴ ∪ ｛ｄ｝，Ｆ，Ｇ） 为区间 值模糊单决策序信息系统。 对于任意的 Ａ ⊆ ＡＴ ， ｘ ∈Ｕ ，记 Ｕ／ Ｒ ≥ Ａ ＝ ｛［ｘ］ ≥ Ａ ｜ ｘ ∈ Ｕ｝ Ｕ／ Ｒ ≥ ｄ ＝ ｛Ｄ１ ，Ｄ２ ，…，Ｄｒ｝ δＡ（ｘ） ＝ ｛Ｄｊ ｜ ［ｘ］ ≥ Ａ ⊆ Ｄｊ，ｘ ∈ Ｕ｝ 我们称 δＡ（ｘ） 为论域 Ｕ 上关于准则集 Ａ 的部分一致 函数。 定义 ５ ［１５］设 α ＝ （ａ１ ，ａ２ ，…，ａｎ ） 和 β ＝ （ｂ１ ，ｂ２ ， …，ｂｎ ） 为两个 ｎ 维向量，若 ａｉ ＝ ｂｉ（ｉ ＝ １，２，…，ｎ） 称 向量 α 等于向量 β ，记作 α ＝ β ； 若 ａｉ ≤ｂｉ（ｉ ＝ １，２， …，ｎ） 称向量 α 小于等于向量 β ，记作 α ≤ β ； 否 则如果存在某个 ｉ ０ ，（ｉ ０ ∈ ｛１，２，…，ｎ｝） ，使得 ａｉ０ ＞ ｂｉ０ ， 称向量 α 不小于等于向量 β ，记作 α ≮ β 。 显然由以上定义可立即得到下面命题。 定理 １ 设 Ｉ ≥ ＝ (Ｕ，ＡＴ ∪ {ｄ} ，Ｆ，Ｇ) 为区间值 模糊决策序信息系统。 对于任意的 Ａ ⊆ ＡＴ ， １）对 ∀ｘ ∈ Ｕ ，当 Ｂ ⊆ Ａ 时，有 δ Ｂ（ｘ） ⊆ δ Ａ（ｘ）； ２） 对 ∀ｘ，ｙ ∈ Ｕ ， 当 ［ｙ］ ≥ Ａ ⊆ ［ｘ］ ≥ Ａ 时， 有 δ Ａ（ｘ） ⊆δ Ａ（ｙ） 。 定义 ６ 设 Ｉ ≥ ＝ (Ｕ，ＡＴ ∪ {ｄ} ，Ｆ，Ｇ) 为区间 值模糊决策序信息系统。 Ａ ⊆ ＡＴ ，对于任意的 ｘ ∈ Ｕ， 如果有 δ Ａ（ｘ） ＝ δ ＡＴ（ｘ） ， 则称 Ａ 是 Ｉ ≥ 中关于区 间值模糊优势关系 Ｒ ≥ ＡＴ 的部分一致协调集，如果 Ａ 的任何真子集均不是部分一致协调集，则称 Ａ 是 Ｉ ≥ 中关于区间值模糊优势关系 Ｒ ≥ ＡＴ 的部分一致约简。 下面具体给出区间值模糊决策序信息系统的部 分一致约简的判定定理。 定理 ２ 设 Ｉ ≥ ＝ (Ｕ，ＡＴ ∪ {ｄ} ，Ｆ，Ｇ) 为区间 值模糊决策序信息系统， Ａ ⊆ ＡＴ ，则 Ａ 是部分一致 协调 集 当 且 仅 当 对 ∀ｘ，ｙ ∈ Ｕ ， 若 δ ＡＴ（ｘ） ∩ δ Ａ（ｙ） ≠δ ＡＴ（ｙ） ，则 ［ｘ］ ≥ Ａ ∩ ［ｙ］ ≥ Ａ ≠ ［ｙ］ ≥ Ａ 。 证明 必要性。 反证法。 假设当 δ ＡＴ（ｘ） ∩ δ ＡＴ（ｙ） ≠ δ ＡＴ（ｘ） 时有 ［ｘ］ ≥ Ａ ∩ ［ｙ］ ≥ Ａ ≠ ［ｙ］ ≥ Ａ 不成 立，此时 ［ｘ］ ≥ Ａ ∩ ［ｙ］ ≥ Ａ ＝ ［ｙ］ ≥ Ａ 则有 ［ｙ］ ≥ Ａ ⊆ ［ｘ］ ≥ Ａ ， 由定理 １ 可知 δ Ａ（ｘ） ⊆ δ Ａ（ｙ） 。 由 Ａ 是部分一致协 调集得 δ ＡＴ（ｘ） ⊆ δ ＡＴ（ｙ） ，即有 δ ＡＴ（ｘ） ∩ δ ＡＴ（ｙ） ＝ δ ＡＴ（ｘ） ，矛盾。 必要性成立。 充分性。 由定理 １ 知 δ Ａ（ｘ） ⊆ δ ＡＴ（ｘ） ，只证 δ ＡＴ（ｘ） ⊆ δ Ａ（ｘ） 即 可。 对 ∀ｘ，ｙ ∈ Ｕ ， 如 果 δ ＡＴ（ｘ） ∩δ ＡＴ（ｙ） ≠ δ ＡＴ（ｘ） ， 则 ［ｘ］ ≥ Ａ ∩ ［ｙ］ ≥ Ａ ≠ ［ｙ］ ≥ Ａ 。 因此对 ∀ｘ，ｙ ∈ Ｕ ， 若 ［ｘ］ ≥ Ａ ∩ ［ｙ］ ≥ Ａ ＝ ［ｙ］ ≥ Ａ ，则 δ ＡＴ（ｘ） ∩ δ ＡＴ（ｙ） ＝ δ ＡＴ（ｘ） ，即 ［ｙ］ ≥ Ａ ⊆ ［ｘ］ ≥ Ａ 成立推出 δ ＡＴ（ｘ） ⊆ δ ＡＴ（ｙ） 成立。 任取 Ｄｋ ∈ δ ＡＴ（ｘ） ，需证 ［ｘ］ ≥ Ａ ⊆ Ｄｋ 。 不妨设 ｙ ∈ ［ｘ］ ≥ Ａ ， 则有 ［ｙ］ ≥ Ａ ⊆ ［ｘ］ ≥ Ａ ， 可得 δ ＡＴ（ｘ） ⊆ δ ＡＴ（ｙ） 。 因此 Ｄｋ ∈ δ ＡＴ（ｙ） ，即 ［ｙ］ ≥ ＡＴ ⊆ Ｄｋ ，于是 ｙ ∈Ｄｋ ， 由 ｙ 的 任 意 性 可 得 ［ｘ］ ≥ Ａ ⊆ Ｄｋ 从 而 σ ＡＴ（ｘ） ⊆σＡ（ｘ） 成立，充分性得证。 ３ 区间值模糊决策序信息系统的部分 一致约简方法 第 ３ 节中给出了不协调的区间值模糊决策序信 息系统的部分一致协调集，这是判断准则集是否协 调的理论所在，这节介绍部分一致约简的方法，先给 出辨识属性集以及辨识属性矩阵的相关概念。 定义 ７ 设 Ｉ ≥ ＝ (Ｕ，ＡＴ ∪ {ｄ} ，Ｆ，Ｇ) 为区间 值模糊序信息系统，记 Ｄ δ ≥ＡＴ ＝ ｛（ｘｉ，ｘｊ） ｜ δＡＴ（ｘｉ） ⊂ δＡＴ（ｘｊ）｝ Ｄｉｓ δ ≥ＡＴ（ｘｉ，ｘｊ） ＝ ｛ａ ∈ ＡＴ ｜ （ｘｉ，ｘｊ） ∈ Ｄ δ ≥ＡＴ ｝ ＝ ｛ａ ∈ ＡＴ ｜ ａ Ｌ （ｘｉ） ＞ ａ Ｌ （ｘｊ） 或 ａ Ｕ （ｘｉ） ＞ ａ Ｕ （ｘｊ）｝ 称 Ｄｉｓ δ ≥ＡＴ（ｘｉ，ｘｊ） 为 Ｉ ≥ 中 ｘｉ，ｘｊ 关于区间值模糊优势 关系 Ｒ ≥ ＡＴ 的部分一致可辨识属性集。 记 Ｄｉｓ δ ≥ＡＴ ＝ （Ｄｉｓ δ ≥ＡＴ（ｘｉ，ｘｊ）） Ｕ × Ｕ 称 Ｄｉｓ δ ≥ＡＴ 为 Ｉ ≥ 中 ｘｉ，ｘｊ 关于区间值模糊优势关 系 Ｒ ≥ ＡＴ 的部分一致可辨识矩阵。 特别地，对任意 ｘｉ， ｘｊ ∈ Ｕ 有 Ｄｉｓ δ ≥ＡＴ ｘｉ，ｘｉ ( ) ＝ ⌀ 定理 ３ 设 Ｉ ≥ ＝ (Ｕ，ＡＴ ∪ {ｄ} ，Ｆ，Ｇ) 为区间 值模糊决策序信息系统， Ａ ⊆ ＡＴ ， Ａ 是部分一致协 调集当且仅当对任意 （ｘ，ｙ） ∈ Ｄ δ ≥ＡＴ 都 有 Ａ ∩ Ｄｉｓ δ ≥ＡＴ （ｘ，ｙ） ≠ ⌀ 。 证明 必 要 性。 对 任 意 （ｘ，ｙ） ∈ Ｄ δ ≥ＡＴ ， 有 σＡＴ（ｙ） ⊂ σＡＴ（ｘ） ，则 σＡＴ（ｘ） ∩ σＡＴ（ｙ） ≠ σＡＴ（ｘ） 。 因 Ａ 是部分一致协调集，由定理２ 得 ［ｘ］ ≥ Ａ ∩［ｙ］ ≥ Ａ ≠ ［ｙ］ ≥ Ａ ，因此 [ｘ] ≥ Ａ 与 [ｙ] ≥ Ａ 的关系有 ３ 种情况： １） [ｘ] ≥ Ａ ⊂ [ｙ] ≥ Ａ ； ２） Ｉ ≥ ＝ (Ｕ，ＡＴ ∪ {ｄ} ，Ｆ，Ｇ) ； ３） [ｘ] ≥ Ａ ∩ [ｙ] ≥ Ａ ⊂ [ｘ] ≥ Ａ 且 [ｘ] ≥ Ａ ∩ [ｙ] ≥ Ａ ⊂ [ｙ] ≥ Ａ 。 下证３种情况下均有Ａ ∩Ｄｉｓ δ ≥ＡＴ （ｘ，ｙ） ≠⌀成立。 １）如果 [ｘ] ≥ Ａ ⊂ [ｙ] ≥ Ａ 则至少存在一个 ｚ ∈ 第 ４ 期 史德容，等：区间值模糊决策序信息系统的部分一致约简 ·４７１·