数. 5.傅里叶级数的展开法 例5设f(x)是以2π为周期的函数，它在[-π，π]上的表达式 为 x,-π≤x<0, f(x)= 0,0≤x<π， 将f(x)展开成傅里叶级数. 解f(x)满足收敛定理条件， f(x)的图形如图所示 y 因此autd= 3 -2- (x)cosmdx-xcosmds 1 (xsincosx) n2 n=1,3,5., 0 n=2,4,6 (inds-（o水-e n 又f(x)在除x=(2k+1)π外处处连续，故f(x)的傅里叶级数展开式 为 a=-及（径ca4m)-n2a+(员wx*写3）-日 4 3 （2cos5x+sin5x)-.（-o<x<且x≠（2k+1)π)， 当x=(2k+1)π时，级数收敛于-元 小结把(x)(满足收敛定理条件)展开成傅里叶级数主要工作 是计算傅里叶系数.因 >17 数． 5．傅里叶级数的展开法 例 5 设 f (x) 是以 2 π为周期的函数，它在[  π，π ]上的表达式 为 f (x) =         0 , 0 π , , π 0 , x x x 将 f (x)展开成傅里叶级数． 解 f (x) 满足收敛定理条件， f (x) 的图形如图所示 因此 0 a =  1  π π f (x)dx = π 1   0πxdx =  2 π ， n a = π 1  π π f (x) cos nxdx = π 1   0πx cos nxdx = π 1 ( n x sin nx + 2 cos n nx ) 0π =       0 , 2,4,6..., , 1,3,5... , π 2 2 n n n n b = π 1  π π f (x)sin nxdx = π   0πx sin nxdx = π 1 ( n x cos nx  + 2 sin n nx ) 0π = 2 1 ( 1) n n  ． 又 f (x)在除x  (2k 1) π外处处连续，故 f (x)的傅里叶级数展开式 为 f (x) =  4 π +( π 2 cos x  sin x )  2 1 sin 2x +( 3 π 2 2 cos3x + 3 1 sin 3x )  4 1 sin 4x +( 5 π 2 2 cos5x + 1 sin 5 ) 5 x   (    x  且 x  ( 2k 1) π )， 当 x  (2k 1) π时，级数收敛于 2 π ． 小结 把 f (x)（满足收敛定理条件）展开成傅里叶级数主要工作 是计算傅里叶系数．因 π 2π π 3π -π -2π-π x y O