(1)f)= x+1’=-4: (2)fx)=,3x 2-x-x2’x=0. 解(1)利用等比级数求和公式 1-1 1 x+1x+4-331-x+4 3 因为 8(1.所以2号. 1-x+4 3 这里 -1<+4<1,得-7<x<-1,于是 3 1=-x+4” x+ 03 (-7飞x<-1） (2) 3x -1211 2-x-x21-x2+x1-x1+ 2 =(1+x+x2.tx+…）-[-+(++(-2+… =3xt3x2+9x2+l5x+ (-1<x<1). 24816 由 的收敛区间为（-山，)可知的器级数收敛区间为 1*2 (-2,2), 3x 的麦克劳林级数的收敛区间取(-1,1)与（-2， 2-x-x 2)中较小的一个，即（-1,1) 小结把函数f(x)展开为(x-x。)的幂级数的方法有二： (1)直接展开法（泰勒展开）此方法计算量大，∫(x)的一般 表达式不易求出，并且讨论余项R,(x)当n→o时是否趋于0也困难.为 了避免这些缺点，常用间接展开法 (2)间接展开法利用已知的函数展开式，通过恒等变换、变量 代换、幂级数的代数运算及逐项求导或逐项积分把∫(x)展开成幂级 1616 (1) f (x) = 1 1 x  ， 0 x =  4 ； (2) f (x) = 2 2 3 x x x   ， 0 x0  ． 解 (1) 利用等比级数求和公式 1 1 x  = 4 3 1 x   = ) 3 4 3(1 1    x ， 因为 1 x 1 =  n0 n x （ 1< x <1），所以 3 4 1 1   x =    0 ) 3 4 ( n x n ， 这里  1< 3 x  4 <1 ，得 7< x < 1 ，于是 1 1 x  =      0 1 3 ( 4) n n n x （ 7< x < 1 ）． (2) 2 2 3 x x x   =1 x 1 2 2 x   =1 x 1 1 1 2 x   =（1+ x + 2 x + n x +） [  2 x +( 2 ) 2 x ++( x n ) 2  + ] = 2 3 x + 2 4 3 x + 3 8 9 x + 4 16 15 x + （1< x <1）． 由 1 x 1 的收敛区间为 （ 1，1）可知 2 1 1 x  的幂级数收敛区间为 （ 2，2）， 2 2 3 x x x   的麦克劳林级数的收敛区间取（1，1）与（ 2， 2）中较小的一个，即（1，1）． 小结 把函数 f (x)展开为（ 0 x  x ）的幂级数的方法有二： (1) 直接展开法（泰勒展开） 此方法计算量大， ( ) ( ) f x n 的一般 表达式不易求出，并且讨论余项R (x) n 当n  时是否趋于 0 也困难．为 了避免这些缺点，常用间接展开法． (2) 间接展开法 利用已知的函数展开式，通过恒等变换、变量 代换、幂级数的代数运算及逐项求导或逐项积分把 f (x) 展开成幂级