高等数学教案第八章 空间解析几何与向量代数 向量a与实数几的乘积记作九a,规定元·ā是一个向量。 (1)当九>0时，元，ā表示一向量，其方向与ā方向相同，其模为d的入倍， 即2d=d。 (2)当元=0时，1ā为零向量，即2ā=0 (3)当入<0时，a表示一向量，其方向与a方向相反，其模为d的九倍， 即2=a。 【注】：当入=-1时，(-1)a与a互为负向量，故有(-1)a=-a。 向量和数的乘积符合下列运算规律： (1)结合律：2(ud=4()=（2)a (2)分配律：(2+m)a=ā+ud (a+b)=ā+2b 例1.在平行四边形ABCD中，设AB=a,AD=b. 试用a和b表示向量MA、MB、MC、MD,其中M是平行四边形对角线的交点. 解由于平行四边形的对角线互相平分，所以 a+b=AC=2AM,-(a+b)=2MA D 于是M=-(a+0, 因为MC=-MA,所以MC=(a+b). 又因-a+b=BD=2MD,所以M而=)(b-a). B 由于MB=-MD,所以MB=号(a-) 定理1设向量a≠0，那么，向量平行于a的充分必要条件是：存在唯一的实数2，使b=1a. 证 条件的充分性是显然的，下面证明条件的必要性。 设b/a,取2= 同 当b与a同向时，取元正值，当b与a反向时，取入负值，即b=a. 这是因为能时b与1a同响。a=同-司-同 再证数的唯一性，设b=a,又设b=ua,两式相减，便得（元-u)a=0, 即-4a=0。因a≠0，故元-4=0，即元=4。 三、空间直角坐标系