高等数学教案第八章 空间解析几何与向量代数 在空间取定一点0和三个两两垂直的单位向量、了k,就确定了三条都以O为原点的两 两垂直的数轴，依次记为x轴（横轴）、y轴（纵轴）、z轴（竖轴），统称为坐标轴.它们构成 一个空间直角坐标系，称为Oxyz坐标系 【注】：(1)通常三个数轴应具有相同的长度单位 (2)通常把x轴和y轴配置在水平面上，而z轴则是铅垂线 (3)数轴的的正向通常符合右手规则. 坐标面 在空间直角坐标系中，任意两个坐标轴可以确定一个平面，这种平面称为坐标面： x轴及y轴所确定的坐标面叫做xOy面，另两个坐标面是yOz面和zOx面. 卦限 三个坐标面把空间分成八个部分，每一部分叫做卦限，含有三个正半轴的卦限叫做第一 卦限，它位于xOy面的上方.在xOy面的上方，按逆时针方向排列着第二卦限、第三卦限和 第四卦限.在x加面的下方，与第一卦限对应的是第五卦限，按逆时针方向还排列着第六卦 限、第七卦限和第八卦限.八个卦限分别用字母I、II、III、IV、V、VI、VII、VIII表示. 向量的坐标分解式： 任给向量工，对应有点M使OM=「.以OM为对角线、三条坐标轴为棱作长方体，有 r=OM=OP+PN+NM=OP+00+OR, 设 OP=xi,00=yj,OR=zk, 则 r=OM=xi+yj+zk 上式称为向量r的坐标分解式，xi、y了z水称为向量r沿三个坐标轴方向的分向量 显然，给定向量x就确定了点M及OP=xi,O0=j,OR=zk三个分向量，进而确 定了x、人z三个有序数；反之，给定三个有序数x人z也就确定了向量r与点M于是点 从向量r与三个有序太人z之间有一一对应的关系 M←→r=OM=xi+j+zk(x,y,z). 据此，定义：有序数太人、z称为向量（在坐标系Oxyz)中的坐标，记作=(x乃，2；有序 数x、、z也称为点（在坐标系Oxyz)的坐标，记为M机x,5z) 向量r=OM称为点M关于原点O的向径.上述定义表明，一个点与该点的向径有相同 的坐标.记号(xy)既表示点M又表示向量OM 坐标面上和坐标轴上的点，其坐标各有一定的特征.例如：点M在Oz面上，则0；同 相，在zOx面上的点，=0；在xOy面上的点，=0.如果点M在x轴上，则==0；同样在y 轴上，有2==0；在z轴上的点，有==0.如果点M为原点，则==2=0. 四、利用坐标作向量的线性运算 5