关于“非线性交调的频率设计”的评注 —A题的解答和有关情况 谢衷洁 北京大学概率统计系100871) 、问题的背景 A题是一道关于非线性交调的频率设计问题,其工程背景广泛存在于通信系统中,例 如,人造卫星通信中的频率配置问题就与本题有关,众所周知,造卫星转发器的能源大 多依赖于太阳能,因而功率是非常有限的,而行波管放大器的输入输出关系便是非线性 的,倘若要求工作在线性区域内则会使本来功率就非常有限的放大器的输出信号更加微 弱。因此,为了获得最大的输出功率就要克服工作在非线性区域内带来的许多问题,其中 之一就是由非线性(幅度、相位)引出的交扰调制( Intermodulation),简称交调,设想对 非线性器件输人(t)=cos2mrf1t+cos2mf2(1÷f2),而输入输出关系为y(t)=a(t n(t),则y(t)的展式中不仅包含有原信号频率f1和f2,而且包含有2f,f1±f2等新的频 率成分,称为交调.如果这些交调出现在f1和f2的接收带内就会形成干扰.工程设计 中的一项任务就是在允许的范围内调整(f1,f),使得各交调对信号不构成干扰,或者是 弱干扰 本题就是上述通信工程中频率设计问题的简化:将复杂的输入输出特性加以简化 也不考虑相位非线性);信号个数减到三个(一段数十个或上百个);交调只考虑3阶( 般5阶,7阶都需分析);频率只考虑整数解等等 本题的一种参考答案 本题可以有多种解法,但归纳起来要经三个步骤:1.由所给的数据建立I-O关系式 (输入输出关系式);2,在{}允许的范围内,在满足频率约束条件下解出全部可能的配 置;3.计算输岀的信号频率和交调频率的系数(振幅);计算各信噪比,选出合乎本题要求 的频率设计,此外,根据竞赛的要求还应对本结果的稳定性、优缺点及推广等方面进行 些合理的讨论 以下是本题的参考性的一种答案,因为在不同的假设条件下,本题还可以有不同的解 1.IO关系的建立由题意只考虑3阶交调已暗示可用3阶多项式来拟合I-O 关系.最简单的是用回归方法.有的组的做法是:先用3阶多项式进行回归,得 y=(a)=0.04946+0.2391a+0.045512-0.0004142n3 (1) 的关系式,然而所给的数据中有4=0,y=0,表明常数项b=0更为合理,因而应