第2章时域中羽离散信号和系统 m元+(G+C2)元-C2元2+(k+k2)x,-k2x2=0 (7.10.1) m+C2(3-元)+k(3-x)=0 可写成矩阵形式： M成+CX+KX=0 (7.10.2 其中 M=m07 c=9+- K=+水- 0 m L-c C2 -k (7.10.4) k x 这是一个四阶的常系数齐次微分方程组，给定其初始位置X和初始速度X: [-- (7.10.4) 引进符号是为了在MATLAB编程中给导数以变量名的需要。用解析法求这个方程的解 非常麻烦，只有当C-心，即无阻尼时，系统可解耦为两种独立的振动模态，通常书上只给出解 耦简化后的解。 有了MATLAB工具，根本无需设C=0,也无需解耦，就可以用很简洁的程序求出其数值 解。其基本思路是把原始非常化成典型的四个一阶方程构成的状态方程组： Y=AY 7.10.5 这个方程在初始条件Y=Y,下的解为Y=Y,et。用MATLAB表示为Y=YO*expm(A*) 其中xpm表示把(A*)看成矩阵来求其指数。已经知道标量x求指数的方法，求矩阵指数虽然 要麻烦 些，但概念是相仿的。我们不必都弄清细节。MATLAB提供了cxpm,expml,…等多种 函数供用户调用。所以我们只要把Y,Y0和A找到就行。 先把方程(2)写成两个一阶矩阵方程： X=X 「0IX x=X=-MICX,-MIKX-MIK -.] (7.10.6 F是 A 0 L -M\K (7.10.7) 对于本题的二自由度系统，X= ]C,-]微vw题4 由于A中的四个元素都是2×2方阵，A是4×4方阵。对于更多自由度的系统，公式(7)都是正 确的 下面给出二自由度系统的一个数值例，设m1=1;m2=9:k1=4,k2=2:c1和c2可由用户输入。 求在初始条件x0=【1;0]和xd0=[0;-1]下，系统的输出x1,2曲线。 根据上面的模型可以写出程序pa710,运行此程序，输入c1-0.2,2-0.5所得的结果见图7-9。 从中可清楚地看到振动的两种模态。特别是x的运动反映了两种模态的迭合。给出不同的初始 条件，各模态的幅度也会变化。输入C1=0.c2=0所得的结果见图7-10，这时两种振动模态是可 7第 2 章 时域中的离散信号和系统 ·7· 7 1 1 1 2 1 2 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 1 2 2 1 ( ) ( ) 0 ( ) ( ) 0 m x c c x c x k k x k x m x c x x k x x + + − + + − = + − + − = (7.10.1) 可写成矩阵形式： MX + CX + KX = 0 (7.10.2) 其中 1 1 2 2 1 2 2 1 1 2 2 2 2 2 0 , , , 0 m c c c k k k x m c c k k x         + − + − = = =                 − − M = C K X (7.10.4) 这是一个四阶的常系数齐次微分方程组，给定其初始位置 X0 和初始速度 Xd0： 10 10 1 0 0 0 0 20 20 2 0 , d d d x x x x x x       = = = =             X X X (7.10.4) 引进符号 xd是为了在 MATLAB 编程中给导数以变量名的需要。用解析法求这个方程的解 非常麻烦，只有当 C=0，即无阻尼时，系统可解耦为两种独立的振动模态，通常书上只给出解 耦简化后的解。 有了 MATLAB 工具，根本无需设 C＝0，也无需解耦，就可以用很简洁的程序求出其数值 解。其基本思路是把原始非常化成典型的四个一阶方程构成的状态方程组： Y = AY (7.10.5) 这个方程在初始条件 Y=Y0 下的解为 A t Y = Y e0 。用 MATLAB 表示为 Y=Y0*expm(A*t)。 其中 expm 表示把(A*t)看成矩阵来求其指数。已经知道标量 x 求指数的方法，求矩阵指数虽然 要麻烦一些，但概念是相仿的。我们不必都弄清细节。MATLAB 提供了 expm, expm1, …等多种 函数供用户调用。所以我们只要把 Y,Y0 和 A 找到就行。 先把方程（2）写成两个一阶矩阵方程：                      d d d d d X = X X X 0 I = X = X = -M \ CX - M \ KX X -M \ K - M \ C X (7.10.6) 于是                   0 0 d d0 X X 0 I Y = , Y = , A = X X - M \ K - M \ C (7.10.7) 对于本题的二自由度系统， 1 1 2 2 d d x x x x     = =         X X 和 d ，所以 Y 和 Y0 都是 4×1 的单列变量； 由于 A 中的四个元素都是 2×2 方阵，A 是 4×4 方阵。对于更多自由度的系统，公式(7)都是正 确的。 下面给出二自由度系统的一个数值例，设 m1=1; m2=9; k1 = 4; k2=2; c1 和 c2 可由用户输入。 求在初始条件 x0 = [1;0]和 xd0 = [0;-1]下，系统的输出 x1,x2 曲线。 根据上面的模型可以写出程序 pla710，运行此程序，输入 c1=0.2,c2=0.5 所得的结果见图 7-9。 从中可清楚地看到振动的两种模态。特别是 x1 的运动反映了两种模态的迭合。给出不同的初始 条件，各模态的幅度也会变化。输入 c1=0,c2=0 所得的结果见图 7-10，这时两种振动模态是可