1.A,2.A,3.D,4.C,5.D 三计算题 1.1 2 2 3.e 4.单调递增区间：(-0,0U(2,+o),单调递减区间：(0,2)，极大值点x=0, 极小值点x=2,极大值f0)=0,极小值f(2)=-34 5.凸区间：(-o,2),凹区间：(2，+o),拐点：(2,2e2),最大值：e1. 四、设f(x)=x+x-1,则f(x)在区间[0,1上连续，且f0)f)=-1×1=-1<0, 由零点定理可知f(x)在(0，)上至少存在一个零点，即方程x+x-1=0至少有 一个正根.存在性获证.假设方程有两个正根x,x,不妨设x<x,则f(x)在 区间[x,x]上连续，在区间(x,x)内可导，f(x)=f(x)=0,由罗尔定理可知 至少存在一点5∈(：，x),使得f(5)=0,但f)=5x+1>0,(>0)矛盾，所 以假设不成立，唯一性获证.从而命题得证. 五.设F(x)=fx)-x,则F(x)在[0,2]上连续，在(0,2)内可导，又F(2)=-2<0, FI)=1>0,由零点定理可知，至少存在一点n∈(L,2),使得F()=0,由罗尔 定理可知至少存在一点5∈(0，)，使得F'(5)=0,即∫(5)=1，从而 5∈(0，)c(0,2),从而可知至少存在一点5∈(0,2)，使f'(5)=1. 六.提示：对函数f(x)=arctanx在[a,b]上应用拉格朗日中值定理即可证. 七.r= 一π十4通过的光线最充足。 +4h 八.1)边际成本C)=3+.(2)边际效益R)=0.(3)边际利润： - 50 -x-3.(4)收益的价格弹性： 器号 ,x50x 4 1．A， 2.A， 3．D， 4．C， 5．D 三 计算题 1． 1 2 ． 2. 1 2 ． 3． 2 e  − ． 4．单调递增区间： ( ,0) (2, ) − + ，单调递减区间： (0,2) ，极大值点 x = 0 ， 极小值点 x = 2 ，极大值 f (0) 0 = ，极小值 3 f (2) 3 4 = − ． 5．凸区间： ( , 2) − ，凹区间： (2, ) + ，拐点： 2 (2,2 ) e − ，最大值： 1 e − ． 四、设 5 f (x) = x + −x 1 ，则 f x( ) 在区间 [0,1] 上连续，且 f f (0) (1)  = −  = −  1 1 1 0 ， 由零点定理可知 f x( ) 在 (0,1) 上至少存在一个零点，即方程 5 x x + − =1 0 至少有 一个正根．存在性获证．假设方程有两个正根 1 2 x x, ，不妨设 1 2 x x  ，则 f x( ) 在 区间 1 2 [ , ] x x 上连续，在区间 1 2 ( , ) x x 内可导， 1 2 f x f x ( ) ( ) 0 = = ，由罗尔定理可知 至少存在一点 1 2  ( , ) x x ，使得 f ( ) 0  = ，但 4 f x ( ) 5 = x x +   1 0,( 0) 矛盾，所 以假设不成立，唯一性获证．从而命题得证． 五．设 F x f x x ( ) ( ) = − ，则 F x( ) 在 [0, 2] 上连续，在 (0,2) 内可导，又 F(2) 2 0 = −  ， F(1) 1 0 =  ，由零点定理可知，至少存在一点  (1, 2) ，使得 F( ) 0  = ，由罗尓 定 理 可 知 至 少 存 在 一 点   (0, ) ，使得 F( ) 0  = ， 即 f ( ) 1  = ，从而     (0, ) (0,2) ，从而可知至少存在一点  (0,2) , 使 f ( ) 1  = ． 六．提示：对函数 f x x ( ) arctan = 在 [ , ] a b 上应用拉格朗日中值定理即可证． 七． , 4 4 l l r h   = = + + ,通过的光线最充足． 八．（1）边际成本 C x x ( ) 3 = + ． （2）边际效益 50 R x( ) x  = ．（3）边际利润： 50 L x x ( ) 3 x  = − − ．（4）收益的价格弹性: 50 1 ( ) ( ) 2 100 ER x x R x EP R x x x =  =  =  ．