高等数学教案第八章 第九章多元函数微分法及其应用 =f(x0yo)△x+f,(x00)△y+o(V(△x)2+(△y)2) A=t cosa,A=t cos B.(△x)2+(△y)2=t. 2、方向导数的计算： 定理如果函数=x,y)在点P(xo,o)可微分，那么函数在该点沿任一方向1的方向导 数都存在，且有 逆 (xoYo) =f(xo:yo)cosa+f(xo,yo)cosB, 其中cosa,cosB是方向1的方向余弦， 简要证明：设△x=t cos a,△y=t cos,则 Axo+icosa,yo+icosB)-Axo,yo)=f(xo,yo)tcosatf(xo,yo)tcosB+o(1). 所以 lim t→0 fxo+tcosa.o+tcsB)-foYo-(xoy)cos+f(xo.Yo)sin. 这就证明了方向导数的存在，且其值为 af 81 (xo.yo) =f(xo:Yo)cosa+f(xo:yo)cosB. 讨论：函数f(化，y)在点P沿x轴正向和负向，沿y轴正向和负向的方向导数如何？ 提示：沿x轴正向时，cosa1,cos-0,7- of of 沿x轴负向时，cosG-l,cos-0,7 =-过 沿y轴正向时，cosa=0,cosB1, of of al dy 沿y轴负向时，cosa=O,cos=-1, 对=_过 al ay 例1求函数z=x在点P(1,0)沿从点P1,0)到点Q2,-1)的方向的方向导数. 解这里方向1即响量尼=-0-)的方向，与同向的年位向量为。=（方方 因为函数可微分，且色 =e2y =2xe2y =2, Ex a.o) 1.0) dy (1.0) (1,0) 所以，所求方向导数为 -2