高等数学教案第八章 第九章多元函数微分法及其应用 2 对于三元函数x,乃，z)来说，它在空间一点Po(xo,o,z0)沿e(cosa,cosB,cos》的方向 导数定义为 af lim f(xo+tcosa,yo+tcosB,zo+tcosy)-f(xo:Yo,Zo) all(xoo2)1→0 如果函数x,y,z)在点(co,oz0)可微分，则函数在该点沿着方向e-(cosa,cos阝，cos) 的方向导数为 1(oyo=0) (xo,yo,zo)cos(xo,yo,zo)cosB+(xo,yo,zo)cosy. 例2求x,y,z)=9+yz+2x在点(1,1,2)沿方向1的方向导数，其中1的方向角分别为60°， 45°，60° 解与1同向的单位向量为 o4e的-，号 因为函数可微分，且 f1,1,2)=0+21,1,2=3, f(1,1,2)=(x+z1,1,2=3, 1,1,2)=0+x).1=2, 所以 af 2 二、梯度 1、梯度的概念 设函数z=x,y)在平面区域D内具有一阶连续偏导数，则对于每一点P(x,yo)ED,都可 确定一个向量 (xo,yo)i(xo,yoli, 这向量称为函数fx,y)在点Po(xo,yo)的梯度，记作gradfxo,yo),即 grad Axo,yo)=(xo,yo)(xo,yoj. 2、梯度与方向导数的关系： -3