高等数学教案第八章 第九章多元函数微分法及其应用 如果函数x,y)在点P(xo,yo)可微分，e=(cosa,cos)是与方向I同方向的单位向量，则 a(xoyo) =f(xo:yo)cosa+f(xo:yo)cosB, grad fxo,yo)er =grad fxo,yo)-cos(grad f(xo,yo),e). 这一关系式表明了函数在一点的梯度与函数在这点的方向导数间的关系.特别，当向量 e与grad九o0的夹角=0，即沿梯度方向时，方向导数 取得最大值，这个最大值 81 (xo-o) 就是梯度的模grad fxo,.o.这就是说：函数在一点的梯度是个向量，它的方向是函数在这 点的方向导数取得最大值的方向，它的模就等于方向导数的最大值. 讨论： 的最大值： al 结论：函数在某点的梯度是这样一个向量，它的方向与取得最大方向导数的方向一致， 而它的模为方向导数的最大值 3、梯度与等值线的关系： 我们知道，一般说来二元函数x,)在儿何上表示一个曲面，这曲面被平面=c(c是常数) 所截得的曲线L的方程为 z=f(x,y) 2=C 这条曲线L在xO面上的投影是一条平面曲线L*,它在xO平面上的方程为 Ax,y)=c. 对于曲线L*上的一切点，已给函数的函数值都是c,所以我们称平面曲线L*为函数=f(化，y) 的等值线， 若f,f,不同时为零，则等值线x,y)=c上任一点P(x0,yo)处的一个单位法向量为 1 n= (f(xoo),f,(x0y%)》 (xo-Yo)+(xo-Yo) 这表明梯度grad(xo,o)的方向与等值线上这点的一个法线方向相同，而沿这个方向的方向 导数斗就等于grad,o,于是 on gradf(o.yo 这一关系式表明了函数在一点的梯度与过这点的等值线、方向导数间的关系.这说是说 -4